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Análisis Matemático 2 Teoremas Integrales

2018-06-23T00:00:00+00:00

Teorema de Green, teorema de Stokes o del rotor, teorema de Gauss o de la divergencia

Teorema de Green

Dada una curva $C$ simple y orientada en forma positiva, encerrando una región $R$ en el plano $xy$, la integral curvilinea de un campo $F: D \in \Re^2 \to \Re^2 / F=(P(x,y), Q(x,y))$ donde $P,Q$ son funciones diferenciables en $\Re$ se puede calcular mediante:

\[\oint_{C+} F \cdot dS = \int \int_R (Q'_{x} - P'_{y}) dxdy\]

Si $F$ es un campo conservativo, luego, se cumple que $Q'_{x} - P'_{y}=0 \implies \oint_{C+} F \cdot dS = 0$

Teorema de Stokes o del rotor

La integral de un campo vectorial $F: D \in \Re^3 \to \Re^3$ sobre una curva $C$ en $\Re^3$ regular, simple y cerrada, resulta igual a la integral del rotacional de dicho campo sobre la superficie encerrada por la curva. Se puede tomar cualquier superficie que contenga a la curva.

\[\oint_{C+} F \cdot dS = \int \int_{S+} rot(F) \cdot dS\]

Teorema de Gauss o de la divergencia

Significado físico de la divergencia

Representa el flujo del campo a través de la superficie en un punto determinado. Siendo el flujo, la cantidad de lineas de campo que atraviesan la superficie por unidad de superficie.

Cuando $div(F) > 0$ significa que en el punto calculado el campo emerge de la superficie (fuente). Cuando $div(F) < 0$ significa que en el punto calculado el campo confluye hacia la superficie (sumidero). Si $div(F) = 0$ no hay transferencia de campo entre la superficie y el exterior.

La integral de un campo vectorial $F: D \in \Re^3 \to \Re^3$ sobre una superficie cerrada $S$ orientada de forma positiva, es igual a la integral triple de la divergencia del campo vectorial sobre el volumen encerrado por la superficie.

\[\bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\!\iint_{S+} F \cdot dS = \int \int \int_V div(F) dV\]

Análisis Matemático 2 Integrales Curvilineas

2018-06-22T00:00:00+00:00

Integral curvilinea, longitud de arco, integral curvilinea de un campo escalar, integral curvilinea de un campo vectorial

Integral curvilinea

Así como ya integramos sobre intervalos (podemos pensar un intervalo como una curva, así que estas son un caso especial de integrales sobre curvas) también deseamos integrar sobre curvas.

Integral curvilinea de un campo escalar

Por ejemplo:

Sea una curva en $\Re^2$ $C(t)=(x(t), y(t)); t_{0} \le t \le t_{1}$

Calculamos la integral del campo escalar $z=f(x,y)$ de la siguiente manera:

\[\int_{t_{0}}^{t_{1}} f(x(t), y(t)) ||C'(t)|| dt\]

Por ejemplo, tomemos la curva $C(t)=(0, t); 0 \le t \le 4$

Nos queda

\[\int_{0}^{4} f(0, t) dt\]

Longitud de arco

Como ya podemos imaginar, cuando el campo escalar a integrar es constante e igual a 1, la integral nos da como resultado la longitud de arco de la curva.

Integral curvilinea de un campo vectorial

Sea un campo vectorial en $\Re^2$ o $\Re^3$

se calcula la integral curvilinea dichos campos vectoriales de la siguiente manera:

\[\int_C F \cdot s = \int_{t_{0}}^{t_{1}} F(C(t)) \cdot C'(t) dt\]

Propiedades

Si $F$ es campo gradiente (o conservativo)

1- Si $C$ es una curva abierta con extremos A y B, el resultado de la integral es independiente del camino que tomemos para ir desde A hasta B.

2- La integral también se puede calcular a través de la función potencial $\phi$

\[\int_C F \cdot ds = \phi_{(B)} - \phi_{(A)}\]

3- Si la curva es cerrada

\[\int_C F \cdot ds = 0\]

Recordemos que para que un campo sea conservativo, se debe cumplir:

En $\Re^2$: $Q'_{x} - P'_{y} = 0$

En $\Re^3$: $rot(F) = \vec 0$

Si además de esas condiciones se cumple que $C$ es cerrada y la región encerrada por la curva es simplemente conexa, el campo es conservativo en dicho recinto. Decimos que un recinto $D$ es simplemente conexo cuando toda curva simple cerrada en $D$ abarca solo puntos de $D$.

Análisis Matemático 2 Integrales De Superficie

2018-06-22T00:00:00+00:00

Integrales de superficie, integrales de superficie sobre campos escalares, área de una superficie, integrales de superficie sobre campos vectoriales.

Integrales de superficie sobre campos escalares

1- Superficie paramétrica $S(u,v)$

\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{uv}} f(x(u,v), y(u,v), z(u,v)) || S'_{u} \times S'_{v} || dudv\]

2- Superficie implícita $g(x,y,z)=0$

\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{xy}} f(x,y,z) \frac{||\vec \nabla g||}{|\vec \nabla g \cdot \hat{k}|} dxdy\]

Acá podemos también proyectar sobre los otros planos, deberemos cambiar en ese caso versor k por el correspondiente y cambian las variables de integración.

3- Superficie explícita $z=g(x,y)$

\[\int \int_S f(x,y,z) dS = \int \int_{R_{xy}} f(x,y, g(x,y)) \sqrt((g'_{x})^2 + (g'_{y})^2 + 1) dxdy\]

Area de una superficie

Como ya estamos acostumbrados, si la función a integrar es f(x,y,z)=1 la integral nos va a dar como resultado el área de la superficie S

Integrales de superficie sobre campos vectoriales

1- Superficie paramétrica $S(u,v)$

\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{uv}} f[x(u,v), y(u,v), z(u,v)] \cdot (S'_{u} \times S'_{v}) dudv\]

2- Superficie implícita $g(x,y,z)=0$

\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{xy}} F(x,y,z) \cdot \vec \nabla g \frac{1}{|\vec \nabla g \cdot \hat{k}|} dxdy\]

Acá podemos también proyectar sobre los otros planos, deberemos cambiar en ese caso versor k por el correspondiente y cambian las variables de integración.

3- Superficie explícita $z=g(x,y)$

\[\int \int_S F \cdot dS = \int \int_{R_{xy}} F(x,y,g(x,y)) \cdot (-g'_{x}, -g'_{y}, 1) dxdy\]

Propiedad

\[\int \int_{S+} F \cdot dS = - \int \int_{S-} F \cdot dS\]

Análisis Matemático 2 Integrales Triples

2018-06-21T00:00:00+00:00

Integral triple, cálculo de volúmenes, coordenadas cilíndricas, coordenadas esféricas.

Integral triple

Así como en las integrales dobles la región de integración elemental es un rectángulo, en las integrales triples al agregar una variable, la regíon resulta en un cubo o paralelepípedo.

Por ejemplo:

\[I = \int_{z=0}^{z=c} \int_{y=0}^{y=b} \int_{x=0}^{x=a} f(x,y,z) dxdydz\]

Cálculo de volúmenes

Cuando la función a integrar es constante e igual a 1, el resultado de la integral triple, es el volúmen de la región de integración.

\[V = \int \int \int_{V} 1 dxdydz = \int \int_{R_{xy}} \int_{z_0}^{z_1} dxdydz\]

Podemos ver la integral anterior desde la interpretación del volúmen como base por altura, al aplicar este concepto a la integral triple, la descomponemos en una integral doble que nos dará como resultado el área de la región $R_{xy}$ de la base y por otro lado aplicando una integral en $z$ que nos dará la altura del cuerpo

Coordenadas cilíndricas

Este cambio de variables suele ser conveniente cuando la proyección del cuerpo en cuestión sobre el plano $xy$ es una circunferencia o elipse.

Para una circunferencia:

\[\left\{\begin{aligned} &x=rcos(\theta) \\ &y=rsin(\theta) \\ &z=z \end{aligned} \right.\]

Donde

\[\left\{\begin{aligned} &0 \le r \le r_{0} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &z_{0} \le z \le z_{1} \end{aligned} \right.\] \[|J|=r\]

Como se puede observar, es muy similar a las coordendas polares, solamente se agrega la altura $z$

Para una elipse:

\[\left\{\begin{aligned} &x=arcos(\theta) \\ &y=brsin(\theta) \\ &z=z \end{aligned} \right.\]

Donde

\[\left\{\begin{aligned} &0 \le r \le r_{0} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &z_{0} \le z \le z_{1} \end{aligned} \right.\] \[|J|=abr\]

Coordenadas esféricas

Es conveniente utilizar este cambio de variables cuando tenemos cuerpos como esferas o conos

De forma general tenemos:

\[\left\{\begin{aligned} &x=\rho sin(\phi) cos(\theta) \\ &y=\rho sin(\phi) sin(\theta) \\ &z=\rho cos(\phi) \end{aligned} \right.\]

Ejemplos:

Para obtener una esfera de radio r (dejamos $\rho$ constante):

\[\left\{\begin{aligned} &\rho = r \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &0 \le \phi \le \pi \end{aligned} \right.\]

Para obtener un cono (dejamos $\phi$ constante):

\[\left\{\begin{aligned} &\rho_{0} \le \rho \le \rho_{1} \\ &0 \le \theta \le 2 \pi \\ &\phi = \frac{\pi}{4} \end{aligned} \right.\]

En todos los casos el jacobiano es

\[|J|=\rho^2 sin(\phi)\]

Las posibilidades son varias, así que es importante darse cuenta que cuerpo obtenemos según los valores que tomen $\rho, \phi, \theta$

Análisis Matemático 2 Integrales Dobles

2018-06-04T00:00:00+00:00

Integral doble, teorema de Fubini, integrales dobles sobre regiones generales, cálculo del área de una región, integrales dobles por cambio de variables, cambio a coordenadas polares.

Integral Doble

En las integrales dobles tenemos dos variables, esto implica que con respecto a la integración en una variable va a variar la región sobre la cual integramos, pasamos de integrar sobre un intervalo a integrar sobre una región:

La forma más elemental de dicha región es un rectángulo o cuadrado.

De forma iterada:

\[I = \int_{y=c}^{y=d} ( \int_{x=a}^{x=b} f(x,y)dx)dy\]

Teorema de Fubini

Dicho teorema demuestra que (1) también se puede calcular invirtiendo el órden de integración

Ejemplo:

Calcular $\int_R x^2ydxdy$ siendo $R$ la región definida por $0 \le x \le 1; 0 \le y \le 3$

\[I = \int_{y=0}^{y=3} (\int_{x=0}^{x=1} x^2ydx)dy = \int_{0}^{3} [y \frac{x^3}{3}]_0^1 dy \\ = \frac{1}{3} \int_{0}^{3} ydy = \frac{3}{2}\]

Integrales dobles sobre regiones generales

Como es de esperarse, en dos variables vamos a querer integrar funciones sobre regiones $D$ más generales que un rectángulo o cuadrado, vamos a definir dos tipos de regiones:

Región tipo 1

Se dice que una región plana $D$ es de tipo 1 si yace entre las gráficas de dos funciones continuas de $x$:

\[D = (x,y) \in \Re^2 / a \le x \le b, g_{1}(x) \le y \le g_{2}(x)\]

luego, $I = \int\int_{D} f(x,y) dA = \int_{a}^{b} \int_{y=g_{1}(x)}^{y=g_{2}(x)} f(x,y)dy dx$

Región tipo 2

Se dice que una región plana $D$ es de tipo 1 si yace entre las gráficas de dos funciones continuas de $y$:

\[D = (x,y) \in \Re^2 / c \le y \le d, h_{1}(y) \le y \le h_{2}(y)\]

luego, $I = \int\int_{D} f(x,y) dA = \int_{c}^{d} \int_{x=h_{1}(y)}^{x=h_{2}(y)} f(x,y)dx dy$

En algunos casos, vamos a encontrar que se puede expresar una región como tipo 1 y también como tipo 2 haciendo la correspondiente inversa de las funciones que acotan la región (lo cual no siempre es fácil o conveniente.

Cálculo del área de una región

Cuando la función que integramos es un escalar igual a 1, la integral doble da como resultado el área de la región $R$

Ejemplo:

Calcular el área limitada entre la curva de ecuación: $x+2y^2-8=0$ y el eje $y$

Como una región de tipo 2:

\[A = \int_{-2}^{2} (\int_{0}^{8-2y^2} 1 dx)dy = \int_{-2}^{2} ([x]_0^{8-2y^2})dy \\ \int_{-2}^{2} (8-2y^2)dy = [8y-2 \frac{y^3}{3}]_{-2}^2 = \frac{64}{3}\]

Integrales dobles por cambio de variables

En muchos casos al igual que en una variable, es útil hacer un cambio de variables para simplificar el cálculo de la integral. En dos variables, hacer un cambio de variables implica hacer una transformación de una región general a un rectángulo y viceversa.

Sea $R_{xy}$ una región general, si aplicamos un cambio de variables por $u,v$:

\[\left\{\begin{aligned} &u=u(x,y) \\ &v=v(x,y) \end{aligned} \right.\]

Vamos a presentar dos casos.

Caso A

Si es posible despejar $x,y$

\[\left\{\begin{aligned} &x=x(u,v) \\ &y=y(u,v) \end{aligned} \right. =\]

Calculamos el Jacobiano de la transformación:

\[J = \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{array}{|cc|} x'_{u} & x'_{v} \\ y'_{u} & y'_{v} \\ \end{array} \ne 0\]

Luego,

\[\int\int_{R_{xy}} f(x,y)dx dy = \int\int_{R_{uv}} f[(x(u,v), y(u,v))] * |J| du dv\]

Caso B

Puede suceder que no sea posible despejar $x,y$ en función de $u,v$

Entonces, calculamos directamente el jacobiano como:

\[J = \begin{array}{|cc|} u'_{x} & u'_{y} \\ v'_{x} & v'_{y} \\ \end{array} \ne 0\]

Luego,

\[\int\int_{R_{xy}} f(x,y) dx dy = \int\int_{R_{uv}} f(u,v)*\frac{1}{|J|} du dv\]

Podemos utilizar el caso B cuando también se puede hacer el despeje de $x,y$, según las cuentas puede resultar mas conveniente el cálculo por un caso o por el otro.

Cambio a coordenadas polares

Supongamos que queremos integrar $f(x,y)$ sobre la región $R: (x,y) \in \Re^2 / x^2+y^2 \le r_{0}$, luego resulta mucho más conveniente para el cálculo de la integral, expresar $R$ con coordenadas polares.

\[\left\{\begin{aligned} &x=rcos(\theta) \\ &y=rsin(\theta) \end{aligned} \right. 0 \le r \le r_{0}; 0 \le \theta \le 2\pi\]

luego, resolvemos por caso A

\[J = \begin{array}{|cc|} x'_{r} & x'_{\theta} \\ y'_{r} & y'_{\theta} \\ \end{array} = r\]

Ahora:

\[\int\int_{R_{xy}} f(x,y) dx dy = \int_{0}^{r_{o}} \int_{0}^{2\pi} f(rcos(\theta), rsen(\theta)) * |r| d \theta dr\]

De la misma forma, si la región es una elipse:

\[R: (x,y) \in \Re^2 / \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} \le r_{0}\] \[\left\{\begin{aligned} &x=arcos(\theta) \\ &y=brsin(\theta) \end{aligned} \right. 0 \le r \le r_{0}; 0 \le \theta \le 2\pi\]

luego, resolvemos por caso A

\[J = \begin{array}{|cc|} x'_{r} & x'_{\theta} \\ y'_{r} & y'_{\theta} \\ \end{array} = abr\] \[\int\int_{R_{xy}} f(x,y) dx dy = \int_{0}^{r_{o}} \int_{0}^{2\pi} f(rcos(\theta), rsen(\theta)) * |abr| d \theta dr\]

Análisis Matemático 2 Campos Vectoriales

2018-05-16T00:00:00+00:00

Definición, lineas de campo, operador nabla, función potencial.

Definición

LLamamos campo vectorial a una función vectorial $F:D \subseteq \Re^n \to \Re^n$

Por ejemplo: $F:D \subseteq \Re^3 \to \Re^3 / F(x,y,z)=(F_{1}(x,y,z), F_{2}(x,y,z), F_{3}(x,y,z))$

Lineas de campo

Las lineas de campo son curvas en $\Re^2$ o $\Re^3$ cuyas trayectorias muestran la continuidad de la orientación de los vectores del campo, estas curvas pueden ser abiertas o cerradas y tienen la propiedad de que no se cortan entre si. En cada punto, el vector del campo es tangente a la curva.

Calcular las lineas de campo, implica resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:

En $\Re^2:$ $\frac{dx}{F_{1}} = \frac{dy}{F_{2}}$

En $\Re^3:$ $\frac{dx}{F_{1}} = \frac{dy}{F_{2}} = \frac{dz}{F_{3}}$

Ej: $F(x,y) = (-y, x)$

\[F_{1} = -y; F_{2} = x\]

Planteamos la ecuación diferencial:

\[\frac{dx}{-y} = \frac{dy}{x} \\ \int \frac{dx}{-y} = \int \frac{dy}{x} \\ \frac{x^2}{2} = \frac{-y^2}{2} + C \implies x^2+y^2=2C\]

Entonces las lineas de campo son circunferencias de radio $\sqrt 2C$

Ejercicio:

Dado el campo vectorial $F(x,y,z)=\frac{-y}{z}\hat{i}-\frac{x}{z}\hat{j}+\frac{xy}{z^2}\hat{k}$ Hallar una parametrización de la linea de campo que pasa por $P_{0}=(1,1,1)$

Como se trata de una curva en $\Re^3$ va a estar definida por la intersección de dos superficies

Pleanteando la ecuación diferencial:

\[\frac{dx}{\frac{-y}{z}} = \frac{dy}{\frac{-x}{z}} = \frac{dz}{\frac{xy}{z^2}}\]

de la primera y segunda ecuación:

\[\frac{dx}{\frac{-y}{z}} = \frac{dy}{\frac{-x}{z}} \\ -xdx = -ydy \\ \int -xdx = \int -ydy \\ \implies x^2-y^2=C_{1}\]

de la segunda y tercera:

\[\frac{dy}{\frac{-x}{z}} = \frac{dz}{\frac{xy}{z^2}} \\ \frac{xy}{z^2}dy = \frac{-x}{z}dz \\ \int ydy = \int -zdz \\ \frac{y^2}{2} = \frac{-z^2}{2} + C_{2} \implies y^2+z^2=C_{2}\]

Como la curva debe pasar por $P_{0}$ podemos averiguar $C_{1}$ y $C_{2}$

\[1^2-1^2=0 \implies C_{1}=0\] \[1^2+1^2=2 \implies C_{2}=2\]

Luego nos queda:

\[y^2=x^2 \implies |y|=x\] \[y^2=2-z^2 \\ |z| = \sqrt 2-y^2\]

Luego una parametrización puede ser $C(t) = (t,t, \sqrt (2-y^2))$

Operador nabla

Llamamos así a un pseudovector de componentes derivadas parciales y se define solo para campos en $\Re^3$

Si aplicamos el operador a un campo escalar, obtenemos el vector gradiente del campo escalar.

Siendo $f$ un campo escalar, entonces $\nabla f = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}) = \vec grad(f)$

Ej: siendo $f(x,y,z)=x^2y-2z^2cos(x)$

\[\implies \nabla f = (2x+2z^2sen(x), x^2, -4zcos(x))\]

Aplicado a un campo vectorial, el operador nabla brinda los siguientes resulados

Divergente de F

\[Div(F) = \nabla \dot F = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \dot (F_{1}, F_{2}, F_{3}) = F'_{1x} + F'_{2y} + F'_{3z}\]

Rotacional o rotor

\[rot(F) = \nabla X F = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ F_{1} & F_{2} & F_{3} \end{array} \right|\ = (F'_{3y}-F'_{2z})\hat{i}-(F'_{3x}-F'_{1z})\hat{j}+(F'_{2x}-F'_{1y})\hat{k}\]

Cuando las derivadas parciales en un punto existen y son continuas y el rotacionalen dicho punto es $\vec 0$ diremos que el campo es irrotacional. A estos campos se los denomina conservativos o gradientes. El término campo gradiente refiere a que el campo vectorial se obtiene a través de una función escalar llamada “potencial”.

Ej: $F(x,y,z)=(2xy, x^2+z^2, 2zy)$

Comprobar si F es conservativo y hallar su función potencial.

Sabemos que $fF_{1}, F_{2}, F_{3}$ tienen derivadas parciales continuas en $\Re^3$

calculamos rotacional:

\[rot(F) = \nabla X F = \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 2xy & x^2+z^2 & 2zy \end{array} \right|\ = (2z-2z)\hat{i}-(0-0)\hat{j}+(2x-2x)\hat{k} = (0,0,0)\]

Luego el campo es conservativo y existe función potencial.

Cálculo de la función potencial

Para el ejemplo anterior:

\[\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\] \[\frac{\partial f}{\partial y} = x^2+z^2\] \[\frac{\partial f}{\partial z} = 2zy\]

resolvemos las ecuaciones diferenciales

\[\int \partial f = \int 2xy{\partial x} \\ f_{1}(x,y,z) = \int 2xydx + g(y,z) + C_{1} \\ f_{1}(x,y,z) = x^2y+g(y,z)+C_{1}\] \[\int \partial f = \int (x^2+z^2){\partial y} \\ f_{2}(x,y,z) = \int (x^2+z^2)dy+h(x,z)+C_{2} \\ f_{2}(x,y,z) = x^2y+z^2+h(x,z)+C_{2}\] \[\int \partial f = \int (x^2+z^2){\partial z} \\ f_{3}(x,y,z) = \int 2zydz+l(x,y)+C_{3} \\ f_{3}(x,y,z) = z^2y+l(x,y)+C_{3}\]

luego la función potencial queda como:

\[f(x,y,z) = x^2y+z^2y+C\]

Análisis Matemático 2 Superficies

2018-05-11T00:00:00+00:00

Definición, distintas formas de expresión, vector normal a una superficie, superficie orientable, clasificación de superficies.

Definición

Llamamos superficie a un conjunto de puntos de $S=(x,y,z) \in \Re^3$ que corresponden a la gráfica de la función vectorial $\vec s:D \subseteq \Re^2 \to \Re^3$ tal que la imágen de $Im(\vec s)=S$

Distintas formas de expresión

Forma explícita

\[z=f(x,y)\]

Ej: Paraboloide $z=x^2+y^2$

Forma vectorial de la explícita

\[S(x,y)=(x,y,f(x,y))\]

Forma implícita

\[F(x,y,z)=0\]

Ej: Paraboloide $x^2+y^2-z=0$

Forma paramétrica

Parametrizando el paraboloide

\[S_{1}(u,v)=(ucos(v), usin(v), u^2); 0 \leq v \leq 2\pi; 0 \leq u \leq \sqrt(2)\]

O su parametrización trivial

\[S_{2}(u,v)=(u,v,u^2+v^2)\]

Ejemplo:

\[S=(x,y,z) \in \Re^3 / (x^2-4y)^2-16z=0\]

pasando a la forma explícita:

\[z=\frac{(x^2-4y)^2}{16} = (\frac{(x^2-4y)}{4})^2 = ((\frac{x}{2})^2-y)^2\]

ahora a la forma paramétrica:

\[\left\{\begin{aligned} &u=\frac{x}{2} \\ &y=v \end{aligned} \right.\] \[\implies \vec S (u,v)=(2u, v, (u^2-v)^2)\]

Análisis Matemático 2 Curvas

2018-05-07T00:00:00+00:00

Definición, forma cartesiana o implícita, curvas en $\Re^3$, clasificación de curvas, vector tangente o vector velocidad.

Definición

Si pensamos en una curva de forma intuitiva como el trazo de un lápiz sobre una hoja, podemos decir que una parametrización de una curva, describe los puntos de la misma. Vamos a llamar entonces curva a la gráfica de una función vectorial $f:[t_{1},t_{2}] \to \Re^n / f(t)=(x_{1}(t), x_{2}(t)...x_{n}(t))$

Por ejemplo:

\[f:[0, 2*pi] \to \Re^2 / f(t)=(cos(t), sen(t))\]

$f(t)$ es una parametrización de una circunferencia de radio 1 (llamémosla $C$), es importante notar que las parametrizaciónes de una curva no son únicas, por ejemplo, para la misma curva $C$, podemos tomar $f:[0, 2*pi] \to \Re^2 / f(t)=(sen(t), cos(t))$ que tiene trayectoria con sentido contrario a la primera.

Forma cartesiana o implícita

El objetivo aquí es presentar la curva eliminando el parámetro $t$

$f(t) = \left\{\begin{aligned} &x=cos(t) \\ &y=sen(t) \end{aligned} \right. =$ $\left\{\begin{aligned} &x^2=cos^2(t) \\ &y^2=sen^2(t) \end{aligned} \right.$

$\implies x^2+y^2=1$ es una ecuación implícita de $C$

Curvas en $\Re^3$

Clasificación de curvas

Suponiendo una función que describe una curva de la forma $C:[a,b] \to \Re^n$ continua

curva cerrada

Si $C(a) = C(b) \implies$ la curva es cerrada

Si $C(a) \ne C(b) \implies$ la curva es abierta

curva simple

Una curva se dice simple, si la parametrización que la define es inyectiva, esto significa que la curva no posee autointersecciones.

Si alguna de las funciones coordenadas de la parametrización es inyectiva, es suficiente para decir que la parametrización también lo es, caso contrario, debemos recurrir a la definición de inyectividad:

\[C(t_{1})=C(t_{2}) \iff t_{1}=t_{2}\]

curva regular

Una curva es regular si se cumple que $||C'(t)|| \ne 0$. Gráficamente, si la curva no es regular en un punto, presenta un vértice o pliegue en el mismo.

Análisis Matemático 2 Extremos Libres

2018-05-03T00:00:00+00:00

Mínimo, máximo, punto de ensilladura, condición necesaria para existencia de extremo, cálculo de hessiano, condición suficiente para existencia de extremo.

Mínimo, máximo, punto de ensilladura

Decimos que una función presenta un mínimo en $(x_{0}, y_{0})$ si $\forall (x,y)$ perteneciente al entorno del mismo se cumple que

\[\Delta Z = f(x,y)-f(x_{0}, y_{0})>0\]

Decimos que una función presenta un máximo en $(x_{0}, y_{0})$ si $\forall (x,y)$ perteneciente al entorno del mismo se cumple que

\[\Delta Z = f(x,y)-f(x_{0}, y_{0})<0\]

Decimos que $f(x,y)$ presenta punto de silla en un punto $(x_{0}, y_{0})$ si para ciertos valores $(x,y)$ de dicho entorno se cumple $\Delta Z = f(x,y)-f(x_{0}, y_{0})>0$ para algunos valores y $\Delta Z = f(x,y)-f(x_{0}, y_{0})<0$ para otros valores.

Condición necesaria para existencia de extremo

La condición necesaria (no suficiente) en un punto $(x_{0}, y_{0})$ de $Z=f(x,y)$ es que las derivadas parciales existan en dicho punto y sean iguales a cero.

Cálculo de hessiano

Sea $f: \Re^2 \to \Re$ y al menos una de las derivadas segundas de $f$ en $(x_{0}, y_{0})$ distintas de cero, tenemos la siguiente condición suficiente para la existencia de extremo en $(x_{0}, y_{0})$:

\[H = \begin{array}{|cc|} f''_{xx} & f''_{xy} \\ f''_{yx} & f''_{yy} \\ \end{array}(x_{0}, y_{0})\]

Entonces si:

$H>0 \implies$ si $f''_{xx}>0 \implies$ mínimo en $(x_{0}, y_{0})$, si $f''_{xx}<0 \implies$ máximo en $(x_{0}, y_{0})$

$H<0 \implies$ punto de ensilladura en $(x_{0}, y_{0})$

$H=0 \implies$ “casi extremo”, si $f''_{xx}>0 \implies$ casi mínimo en $(x_{0}, y_{0})$, si $f''_{xx}<0 \implies$ casi máximo en $(x_{0}, y_{0})$

Condición suficiente para existencia de extremo

Como vimos, no podemos utilizar el hessiano cuando todos sus coeficientes son nulos. Podemos utilizar lo que vimos en la definición para demostrar la existencia de un extremo:

Ej:

Hallar los extremos de $f(x,y)=(x-y)^4+(y-1)^4$

Busco los puntos críticos:

\[f'_{x}=4(x-y)^3=0 \iff x=y\] \[f'_{y}=-4(x-y)^3+4(y-1)^3=0 \iff x=y \wedge y=1\] \[\implies P_{0}=(1,1)\]

Hallo las derivadas cruzadas:

\[f''_{xx}=12(x-y)^2 ; f''_{yy}=12(x-y)^2+12(y-1)^2\] \[f''_{xy}=-12(x-y)^2\]

Como vemos, en este caso todas las derivadas segundas nos dan $0$ en $(P_{0})$ entonces el hessiano no decide.

Por definición:

\[f(x,y)-f(1,1) = (x-y)^4+(y-1)^4-0\]

Como podemos ver, nos queda una suma de dos cosas positivas, entonces:

$(x-y)^4+(y-1)^4 > 0 \implies P_{0}$ es mínimo absoluto, porque esto se cumple $\forall (x,y) \ne (1,1)$

Análisis Matemático 2 Derivadas Sucesivas

2018-05-02T00:00:00+00:00

Derviadas sucesivas o de órden superior, teorema de Schwarz, aproximación cuadrática (polinomio de Taylor de grado 2)

Derivadas sucesivas o de órden superior

Como ya vimos, en funciones de varias variables derivamos parcialmente, en las derivadas sucesivas también sucede lo mismo, Sea $f: \Re^2 \to \Re$ podemos derivar $f$ respecto de $x$ ($f'_{x}$) y luego con respecto a $y$ ($f''_{xy}$).

Ej:

Sea $f(x,y)=xy+(x+2y)^2$

Las derivadas de primer órden son:

$f'_{x}=y+2(x+2y)$; $f'_{y}=x+4(x+2y)$

las de segundo órden:

$f''_{xx}=2$; $f''_{yy}=8$

y de segundo órden mixtas:

$f''_{xy}=5$; $f''_{yx}=5$

Nótese que las derivadas de segundo órden mixtas en este caso son iguales. esto no es casualidad.

Teorema de Schwarz

Si $D_{1}f(x,y)$ y $D_{2}f(x,y)$ son diferenciables en un entorno de $a \implies D_{1}f(a)=D_{2}f(a)$

En palabras, si se cumple que las derivadas de primer orden son diferenciables en $a$, entonces las derivadas mixtas en cualquier órden de derivación de segundo órden son iguales. Esto se puede generalizar para órdenes mayores:

Las derivadas mixtas de órden $n$ en $a$ van a ser iguales $\iff$ las derivadas de órden $n-1$ son diferenciables en $a$

Ejercicio:

Averiguar el mínimo $n \in N / D_{x}D_{y}f(0,0)=D_{y}D_{x}f(0,0)$

sea $f(x,y) = \left\{\begin{aligned} &\frac{x^ny}{x^2+y^2} &&: (x,y) \neq (0,0) \\ &0 &&: (x,y) = (0,0) \end{aligned} \right.$

Analizando continuidad:

\[\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^ny}{x^2+y^2} = 0\]

Acotando

\[x^2+y^2 \ge y^2\] \[\frac{1}{x^2+y^2} \le \frac{1}{y^2}\]

luego

\[\frac{|x^n||y|}{x^2+y^2} \le \frac{|x^n||y|}{y^2} \le |x^n|\]

Por sandwich, $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^ny}{x^2+y^2} = 0$ entonces es continua en $(0,0)$

Obtengo las derivadas parciales:

Si $(x,y) \neq (0,0)$

$f'_{x} = \frac{y(nx^{n-1}(x^2+y^2)-2x^{n+1})}{(x^2+y^2)^2}$ $f'_{y} = \frac{x^n(x^2+y^2-2y^2)}{(x^2+y^2)^2}$

Si $(x,y) = (0,0)$

$f'_{x} = 0$ $f'_{y} = 0$

Y ahora las derivadas cruzadas en $(0,0)$

\[f''_{yx} = \lim_{h \to 0} \frac{f'_{y}(h,0)-f'_{y}(0,0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^n}{h^3}\] \[f''_{xy} = \lim_{h \to 0} \frac{f'_{x}(0,h)-f'_{x}(0,0)}{h} = 0\]

Como los límites deben coincidir, igualo:

\[\lim_{h \to 0} \frac{h^n}{h^3} = 0 \iff n \ge 4\]

En conclusión, el mínimo $n \in N / D_{x}D_{y}f(0,0)=D_{y}D_{x}f(0,0)$ es $4$

Aproximación cuadrática

Como ya vimos, la aproximación lineal de una función de dos variables se calcula mediante el plano tangente en un punto $(a,b)$

\[T(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b)\]

Lo anterior se denomina también polinomio de Taylor de primer grado de $f$ en $(a,b)$

De la misma manera, definimos el polinomio de Taylor de grado 2 de una función $f$ de dos variables en $(a,b)$ como:

\[Q(x,y)=f(a,b)+f_{x}(a,b)(x-a)+f_{y}(a,b)(y-b) \\ + \frac{1}{2}f_{xx}(a,b)(x-a)^2+f_{xy}(a,b)(x-a)(y-b)+\frac{1}{2}f_{yy}(a,b)(y-b)^2\]

My journey

Análisis Matemático 2 Teoremas Integrales

Teorema de Green

Teorema de Stokes o del rotor

Teorema de Gauss o de la divergencia

Significado físico de la divergencia

Análisis Matemático 2 Integrales Curvilineas

Integral curvilinea

Integral curvilinea de un campo escalar

Longitud de arco

Integral curvilinea de un campo vectorial

Propiedades

Análisis Matemático 2 Integrales De Superficie

Integrales de superficie sobre campos escalares

Area de una superficie

Integrales de superficie sobre campos vectoriales

Propiedad

Análisis Matemático 2 Integrales Triples

Integral triple

Cálculo de volúmenes

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Análisis Matemático 2 Integrales Dobles

Integral Doble

Teorema de Fubini

Integrales dobles sobre regiones generales

Región tipo 1

Región tipo 2

Cálculo del área de una región

Integrales dobles por cambio de variables

Caso A

Caso B

Cambio a coordenadas polares

Análisis Matemático 2 Campos Vectoriales

Definición

Lineas de campo

Operador nabla

Divergente de F

Rotacional o rotor

Cálculo de la función potencial

Análisis Matemático 2 Superficies

Definición

Distintas formas de expresión

Forma explícita

Forma implícita

Forma paramétrica

Análisis Matemático 2 Curvas

Definición

Forma cartesiana o implícita

Curvas en \(\Re^3\)

Clasificación de curvas

curva cerrada

curva simple

curva regular

Análisis Matemático 2 Extremos Libres

Mínimo, máximo, punto de ensilladura

Condición necesaria para existencia de extremo

Cálculo de hessiano

Condición suficiente para existencia de extremo

Análisis Matemático 2 Derivadas Sucesivas

Derivadas sucesivas o de órden superior

Teorema de Schwarz

Aproximación cuadrática