import math

# ========== 参数 ==========

mu = 1 # 期望值 E[X]

a = 10 # 超过 10 个任务

sigma = 3 # 假设方差约为 3（举例用）

n = 1000 # 服务器总数

delta = (a - mu) / mu # Chernoff 偏差比例

# ========== 各种不等式 ==========

# 1️⃣ Markov 不等式

markov = mu / a

# 2️⃣ Chebyshev 不等式

k = (a - mu) / sigma

chebyshev = 1 / (k ** 2)

# 3️⃣ Chernoff 上界（假设 X ~ Poisson 或二项分布）

chernoff = math.exp(-delta**2 * mu / 3)

# 4️⃣ Union Bound （系统中任一服务器超载）

union_bound = n * chernoff

# ========== 输出比较 ==========

print("📊 各不等式概率上界比较：\n")

print(f"Markov 上界: P(X≥{a}) ≤ {markov:.4f}")

print(f"Chebyshev 上界: P(X≥{a}) ≤ {chebyshev:.4f}")

print(f"Chernoff 上界: P(X≥{a}) ≤ {chernoff:.3e}")

print(f"Union Bound 系统: P(any server overload) ≤ {union_bound:.3e}")