补码，或者说2的补码（Two's complement），是计算机中用于表示负整数的常用方式。你一定知道，它的计算规则是取反码再加一；你很可能也知道，这样表示的好处是只需要一个加法器便可以处理正负数混合的运算。任取几个数尝试，很容易验证这样神奇的性质。除此之外，它还有一些很好的性质。例如在扩宽时，只需要用最高位填充空白部分即可。
但这有些先射箭后画靶的嫌疑。我们不禁想问，如此巧妙的机制是如何提出的呢？就像正态分布只要几个平凡的约束条件即可唯一得到那样，补码也是几个合理约束下唯一能够表示负数的方案。接下来我们不妨重新发明一次补码。理解这些不需要高中以上的数学知识，数学符号只是为了简洁表意。下文中出现的数均为整数。
我们有一个 \(k\) 位（二进制位，下同）的加法器，能够对两个 \(k\) 位无符号整数做加法，结果保留最低的 \(k\) 位，即对 \(2^k\) 取模的结果。在这个系统下，“等于”是在模 \(2^k\) 意义下的，若 \(x \equiv y \pmod {2^k}\)，则可认为 \(x = y\)。也就是说，只要两个数关于 \(2^k\) 的模数相同，在这个系统下它们就是相等的。这不是我们所熟知的整数域 \(\mathbb Z\) 中的“等于”，但也很好理解。这是一个循环，可以用一天中的小时（0~23）、角度（0~359°）类比。同理也可以得到，对于减法或者负数，则有 \(-x = 2^k - x\)。
那么我们如何在这个系统的基础上，建立带符号整数的运算规则呢？如果我们可以将带符号整数映射到原先的无符号整数上也许可以，比如说最简单的思路是将最高位当作符号。一个合法的映射只需要建立一一对应（即双射）的关系，这会产生非常多种方案；但我们希望它方便而自然，具有一些良好的性质：
- 自然数是我们最常用的，它们的表示与值应当相等，这样方便我们在无符号表示和带符号值之间转换，即 \(\forall x \ge 0, \, f(x) = x\)；
- 为了让原有的加法器可以无需任何修改直接进行带符号运算，我们希望无符号表示的和等于带符号和的表示，即 \(f(x + y) = f(x) + f(y)\)；减法同理。这被称之为加法同态性。
接下来我们会看到，这样两条性质已经唯一确定了映射关系。负数可以由减法的定义得到：
\[ \begin{aligned} & f(-x) \\ = & f(0-x) \\ = & f(0) - f(x) & \text{（同态性）} \\ = & 0 - x & \text{（自然数直接对应）} \\ = & 2^k - x & \text{（循环性）}\\ \end{aligned} \]
于是我们得到了负数的映射规则 \(f(-x) = 2^k - x\)。现在，非负数 \([0, a]\) 将被映射到 \([0, a]\)，负数 \([-b, -1]\) 则被映射为 \([2^k - b, 2^k - 1]\)。为避免二者产生重叠，\(a < 2^k - b\)。这里的取值就相对不那么讲究了，我们不妨令 \(a = 2^{k-1} - 1, \, b = 2^{k-1}\)，这样恰好使得最高位是符号位；也正是因为如此，有符号整数的表示范围中，最小值的绝对值比最大值要大了1。于是我们就重新发明了补码的运算规则。
那么我们熟知的“反码加一”呢？注意到 \(f(-x) = 2^k - x = \left[ \left( 2^k - 1 \right) - x \right] + 1\)，而我们知道 \(2^k - 1\)的二进制表示即为 \((\underbrace{11 \dots 1}_k)_2\)，于是 \(\left[ \left( 2^k - 1 \right) - x \right]\) 等价于 \(x\) 的反码。因此，\(\left[ \left( 2^k - 1 \right) - x \right] + 1\) 就是我们熟知的“反码加一”的形式。
从群论的视角看，这可能只不过是阿贝尔群、循环群、同态等概念的演绎，但我并不了解这方面的理论，因此不好妄言。我只是想用通俗的语言说明，补码并不是刻意的设计，而是若干合理要求下的唯一选择。
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