Черновики физика

Брахистохрона и свободное падение зарядов в дополнительном магнитном поле

Роман Парпалак — Sat, 22 Mar 2025 20:46:00 GMT

Вернемся к задаче о брахистохроне — кривой скорейшего спуска. Иоганн Бернулли доказал, что в однородном поле тяжести такой кривой является циклоида.

Есть еще одна задача на движение частиц, в которой ответом тоже является циклоида, — задача о падении заряда в однородном магнитном поле. Эта задача эквивалентна движению заряженной частицы в ортогональных однородных электрическом и магнитном поле с нулевой начальной скоростью. Ее можно решать переходом в движущуюся систему отсчета, в которой электрическое поле зануляется и частица движется по окружности в магнитном поле. Комбинация поступательного движения по прямой и вращательного движения по окружности и дает циклоиду.

В прошлый раз мы занимались брахистохроной в центрально-симметричном силовом поле с потенциалом и обсудили, что ответом является дуга гипоциклоиды. Можно задать аналогичный вопрос и о свободном движении заряженной частицы: какова траектория заряда в потенциале и однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости движения заряда?

Из качественных соображений понятно, что траектория будет «звездообразной». Во-первых, заряд действительно всегда движется в одной плоскости, так как нет сил, не лежащих в этой плоскости. Во-вторых, когда заряд отпускают, он начинает двигаться к центру притяжения. По мере роста скорости увеличивается и магнитная сила, направленная перпендикулярно траектории и отклоняющая заряд в сторону. Заряд разворачивается, тормозится и останавливается на том же расстоянии от центра, на котором он был в начальном положении. Дальше этот цикл повторяется.

Численное решение уравнений движения показывает траекторию, очень напоминающую гипоциклоиду. Давайте разберемся, действительно ли заряд в магнитном поле и потенциале будет двигаться по гипоциклоиде и случайно ли траектория опять совпадает с брахистохроной?

Падение в «вертикальном» поле

Направим ось y вниз и будем рассматривать движение в поле с потенциальной энергией , причем . Из закона сохранения энергии . Брахистохрона минимизирует интеграл для времени движения:

Первый интеграл соответствующего уравнения Эйлера — Лагранжа имеет вид

(1)

Это дифференциальное уравнение для линейного потенциала , то есть для однородного силового поля, описывает циклоиду.

Рассмотрим теперь свободное движение заряда в том же потенциале и горизонтальном магнитном поле (в этой системе координат оно направлено вдоль оси z). Выберем векторный потенциал в виде . Лагранжиан заряженной частицы в однородном магнитном поле

Лагранжиан не зависит явно от времени и координаты x, поэтому энергия и обобщенный импульс сохраняются:

В начальном положении энергия и импульс равны нулю, поэтому:

(2)

Полученное дифференциальное уравнение (2) траектории заряда в поле притяжения и магнитном поле совпадает с уравнением брахистохроны (1) только если . Таким образом, свободное движение в силовом и магнитном полях имеет ту же траекторию, что и брахистохрона в силовом поле, только если это однородное поле.

Падение в центральном поле

В прошлый раз мы находили уравнение брахистохроны в поле с потенциалом . Если проделать те же выкладки для произвольного потенциала, получим следующее дифференциальное уравнение:

(3)

Перейдем теперь к свободному движению заряда в этом поле и дополнительном магнитном поле.

В силу наличия вращательной симметрии удобно выбрать векторный потенциал в форме . Лагранжиан заряженной частицы

Первые интегралы для уравнения Эйлера — Лагранжа дают сохранение энергии и обобщенного момента импульса:

Так как в начальный момент , а скорость равна нулю, то:

(4)

Перемножив (3) на (4), получаем

Мы видим, что только при уравнения (3) и (4) могут совпадать.

Совпадение брахистохроны и траектории падения заряженной частицы в дополнительном магнитном поле оказалось случайным. Оно имеет место только для однородного поля притяжения и для осцилляторного потенциала в центрально-симметричном случае. Для других потенциалов дифференциальные уравнения различаются, поэтому совпадения не будет.

Ключевые слова: электродинамика, механика

Задача о математическом ожидании количества случайных слагаемых

Роман Парпалак — Mon, 01 Jul 2024 10:04:00 GMT

Недавно Майкл Пенн разбирал интересную задачу, которую я cформулирую так:

Сколько в среднем нужно взять случайных натуральных чисел, равномерно распределенных на отрезке от 1 до , чтобы их сумма превысила ?

Конструкция в его решении выглядит достаточно искусственной и требует непростых рассуждений. Я предлагаю решить задачу «в лоб», без применения хитрых конструкций. Оказывается, это можно сделать, немного повозившись с преобразованием сумм.

Решение

Ясно, что одного числа недостаточно, чтобы сумма превысила . Два числа уже могут в сумме дать число, большее . Если это произошло, испытание завершается. В противоположном случае нужно выбрать еще одно число и т. д.

Обозначим через вероятность неуспеха — вероятность того, что сумма случайно выбранных чисел окажется не больше :

(1)

Cхему одного испытания можно представить в виде дерева, где добавление нового числа при неуспехе каждый раз порождает развилку:

Из нее мы видим, что вероятность того, что в одном испытании будет взято ровно чисел, равна . Действительно, событие, противоположное (1), состоит в том, что сумма произвольного не превосходящего количества случайно взятых чисел будет больше . Его вероятность есть . Аналогично, вероятность того, что сумма произвольного не превосходящего количества случайно взятых чисел будет больше есть . Разность этих величин как раз и дает .

Тогда искомое среднее можно выразить как

(2)

В этой сумме мы раскрыли скобки и сгруппировали промежуточные слагаемые. Ясно, что дерево вероятностей конечно, и последняя ненулевая вероятность в нем соответствует случаю . Поэтому сумма в (2) заканчивается на нулевом слагаемом , тем самым кроме сгруппированных промежуточных слагаемых никаких слагаемых в конце в ней нет.

Начнем с вычисления . Пространство элементарных событий для двух натуральных чисел от 1 до можно представить матрицей , в которой неудачные исходы расположены под главной диагональю:

Искомая вероятность равна отношению количества красных квадратиков к общему количеству квадратиков. Вычисляя, получаем, что она связана с треугольными числами :

Перейдем к . Пространство элементарных событий для трех чисел можно представить себе как часть куба , нарезанного на единичные кубики. Нас интересуют неудачные исходы , которые соответствуют такой пирамидке:

Здесь мы можем предположить, что вероятность выражается через тетраэдральные числа . Формально этот результат получается при вычислении суммы на множестве по слоям: сначала по слою , потом по слою и т. д:

Каждая из сумм в скобках уже вычислена на предыдущем этапе. Действительно, количество элементов в слоях задается треугольными числами. Подставляем:

Идея с послойным вычислением суммы без каких-либо изменений обобщается на случай произвольного количества чисел . Вероятность будет выражаться через гипертетраэдральные числа:

(3)

Подставим в (2):

А это есть не что иное, как разложение через бином Ньютона. Ответ:

Обсуждение

В пределе неограниченно больших ожидаемое количество слагаемых стремится к . Да и сама задача в этом пределе переходит в известную задачу о математическом ожидании количества случайных величин, равномерно распределенных на интервале от 0 до 1, таких чтобы их сумма превзошла 1. О том, что это математическое ожидание равно , я узнал из книги Мартина Гарднера «Математические досуги»:

Идея рассуждений в непрерывном случае аналогична нашему решению, а детали вычислений оказываются проще. Суммы заменяются на интегралы от многочленов, которые без проблем вычисляются и дают меру симплекса, построенного на единичных отрезках на осях координат: . Сумма в (2) становится бесконечной и превращается в известный ряд для числа

В дискретном случае приходится заниматься конечными суммами, которые сводятся к треугольным числам и их обобщениям. Надо сказать, что для решения никакие их свойства не использовались. Явный вид можно было получить для нескольких начальных и затем по индукции доказать общий вид (3). Либо можно воспользоваться свойствами чисел, стоящих на местах с номером в треугольнике Паскаля:

Ключевые слова: теория вероятностей

Задача коллекционера

Роман Парпалак — Thu, 08 Feb 2024 15:54:00 GMT

Представьте, что вы кидаете игральный кубик, и выпадает число от 1 до 6. Сколько раз в среднем нужно бросить кубик до того момента, как каждое число выпадет хотя бы один раз? Ясно, что число попыток не должно быть меньше 6. Но если при этом попадались одинаковые числа, потребуется больше бросков. Сколько именно?

Это одна из возможных формулировок задачи коллекционера. Под таким названием (Coupon Collector’s Problem) она встречается в англоязычной литературе, а в русскоязычной практически не упоминается (я нашел одну публикацию в «Математическом просвещении»). Давайте исправим несправедливость и разберем эту весьма интересную задачу.

Современному читателю проще прочувствовать смысл этой задачи на примере киндер-сюрприза: сколько нужно купить шоколадных яиц, внутри которых находится одна из машинок, чтобы собрать полную коллекцию?

Стандартное решение

Обозначим через искомое количество попыток сбора элементов коллекции. Оно состоит из суммы числа попыток получить элемент , когда уже собрано элементов: .

Вероятность найти новый -й элемент коллекции, когда уже собрано элементов и осталось собрать , равна

(1)

То есть — случайная величина с геометрическим распределением и математическим ожиданием

(2)

С учетом линейности математического ожидания

Здесь — частичные суммы гармонического ряда, асимптотика которых выражается через логарифм:

(3)

Альтернативное решение

Решение выше получилось достаточно простым благодаря тому, что вероятность получения нового элемента коллекции (1) не зависит от истории, то есть от самих величин . Однако такая зависимость может появиться в более сложном случае. Скажем, если коллекционер обменивается с другими коллекционерами, то чем больше у него накопилось дублей в коллекции, тем больше вероятность получить новый элемент через обмен. В этом примере формула (1) усложняется, а (2) вообще не работает.

В общем случае вероятность появления нового элемента может явно зависеть от номера шага . Через мы обозначим вероятность того, что после шагов мы собрали элементов коллекции. Я проведу рассуждения в условиях исходной задачи, а вы при необходимости можете их обобщить.

Если после выполнения шагов мы собрали элементов, это значит, что на предыдущем шаге количество элементов могло быть либо , либо . В первом случае мы получаем новый элемент с вероятностью, определяемой формулой (1), во втором случае противоположной вероятностью:

(4)

Это уравнение вместе с граничными условиями содержит в себе всю информацию из условия задачи, поэтому все остальные рассуждения будут чисто техническими.

О каких граничных условиях идет речь? Ясно, что , (в начале никакой коллекции нет). Кроме того, на первом шаге мы гарантированно получим один элемент, поэтому .

Перепишем для удобства (4) в другом виде после подстановки :

(4a)

Заметим еще, что на каждом шаге должна сохраняться нормировка вероятности — в коллекции точно должно быть хоть сколько-то элементов:

(5)

Нарушение условия нормировки сразу укажет на ошибку в построении математической модели. Давайте проверим, что в (4) подобных ошибок нет:

Мы опустили нулевое слагаемое из граничных условий, а также перенумеровали слагаемые в одной из сумм. По индукции видно, что нормировка сохраняется на каждом шаге.

В задаче нам нужно усреднить число попыток до окончания сбора коллекции:

Чтобы получить вероятность окончания сбора коллекции именно на шаге , я вычел из вероятности собрать элементов на шаге вероятность собрать элементов на шаге (вычитается вероятность того, что на предыдущем шаге коллекция уже собрана).

Из (4а) при :

Отсюда

(6)

Здесь мы видим другое представление вероятности окончания сбора коллекции: вероятность сбора последнего элемента умножается на вероятность наличия элементов на предыдущем шаге.

Идея дальнейших вычислений в том, чтобы пользуясь равенством (4а) и дальше понижать аргумент в (6) от до 0. Тогда в сумме останется только один ненулевой элемент, соответствующий . Вы можете проделать несколько подстановок (4а) вручную и увидеть закономерность. Я же сразу сформулирую ее в виде утверждения, связывающего и :

Утверждение. Существуют такие числа и , что при любых натуральных и выполняется равенство

(7)

Доказательство по индукции. Если , то из (6) гипотеза верна при . Пусть она верна для . Тогда из (4а)

Сумма в первом слагаемом похожа на нужную сумму из (7) для , увеличенного на 1. Пока отдельно вычислим оставшуюся сумму:

Здесь мы дважды воспользовались изменением индекса суммирования. Так как суммирование идет по всем возможным , мы можем спокойно менять индексы. Лишних или отсутствующих слагаемых не будет, так как вероятности зануляются, когда число шагов меньше размера коллекции: .

Просуммируем теперь (4a) по всем :

откуда

Таким образом, по индукции не зависит от и равно 1, так как при переходит в . Возвращаемся к :

По форме это совпадает с (7) при условии

С учетом начальных условий получаем явные выражения коэффициентов: — частичные суммы гармонического ряда, .

Подставим теперь в (7). Тогда

что совпадает с ответом стандартного решения.

Вывод

Мы решили задачу коллекционера, записав уравнение эволюции распределения вероятности (4). Это уравнение можно рассматривать как дискретный вариант уравнения, описывающего поток вероятности.

Такой подход универсален для задач подобного типа, потому что позволяет их решать не только аналитически, но и численно. Например, в нашем случае эволюцию распределения вероятности можно рассчитать на основе уравнения (4) даже в Excel. На скриншоте видно, как распределение вероятности со временем смещается от меньших к большим для .

Ключевые слова: теория вероятностей

Как создается электрическое поле в проводнике с током?

Роман Парпалак — Tue, 28 Nov 2023 10:50:00 GMT

Мотивация

Вопрос, вынесенный в заголовок, в свое время породил большую дискуссию на физическом форуме (1, 2, 3). Вот более точная формулировка вопроса:

Рассмотрим длинный провод, подключенный к батарейке. По нему течет постоянный ток. Ток создается электрическим полем Е, которое, в свою очередь, создается зарядами на полюсах батарейки. Почему вдали от полюсов (например, в середине проводника) поле Е=const, а не убывает при удалении от полюсов, как ему положено по закону Кулона?

Правильный ответ заключается в том, что батарейка не является единственным источником электрического поля, какие бы процессы в ней ни происходили. На поверхности проводника с током возникают дополнительные заряды, которые и создают постоянное электрическое поле внутри.

Обоснование появления зарядов на поверхности проводника с током следующее. Плотность тока внутри проводника по закону Ома пропорциональна напряженности поля:

Возьмем дивергенцию обеих частей и воспользуемся первым уравнением Максвелла и законом сохранения электрического заряда в локальной форме :

(1)

Так как протекание тока — стационарный процесс, в котором величины со временем не меняются, то производная в левой части зануляется, поэтому правая часть — плотность зарядов внутри проводника — тоже есть 0. Следовательно, поле в проводнике может создаваться только зарядами на его поверхности.

Почему-то у этого простого обоснования есть противники, которые утверждают, что появление постоянного электрического поля вдоль проводника нельзя объяснить в классической электродинамике, и изобретают свои объяснения, например: источник тока создает избыток электронов с одного конца провода, и эти лишние электроны «расталкивают» другие электроны. Физического содержания в этих объяснениях нет, и мы не будем их рассматривать.

В этом посте попробуем найти, каким именно должно быть распределение поверхностного заряда, чтобы внутри проводника с постоянным сечением создалось однородное электрическое поле.

Близкая задача из электростатики

К сожалению, мы не можем найти точное распределение поверхностных зарядов по проводнику, если не учтем механизм того, как именно создается разность потенциалов на его концах. Вместо выбора такого механизма сделаем приближение, сказав что никакого механизма нет. Фактически, будем решать упрощенную задачу: как нужно распределить заряд по поверхности, чтобы поле внутри стало таким же, как и при стационарном протекании тока?

Разумеется, распределенный по поверхности проводника заряд без механизма создания разности потенциалов сразу же растечется (характерное время растекания можно найти из уравнения (1)), и, казалось бы, решать такую задачу бессмысленно. Но можно сформулировать задачу из электростатики о проводнике во внешнем однородном электрическом поле с точно таким же ответом:

Цилиндрический проводник длины l и радиуса R помещен во внешнее однородное электрическое поле так, что его ось направлена по полю. Найти распределение поверхностных зарядов.

Действительно, в этом случае заряды так распределятся по поверхности проводника, что линейный потенциал внешнего поля будет скомпенсирован их собственным потенциалом во всем объеме проводника.

Для полноты отметим, что аналогичная задача о проводнике в форме шара имеет простое точное решение.

Наивный подход

Обозначим плотность зарядов через на боковой поверхности и на поверхности оснований. Через эти величины можно выразить электрическое поле или потенциал внутри цилиндра, взяв интегралы по поверхности. Скажем, на оси цилиндра

(2)

Здесь учтены симметрии задачи: вращательная симметрия вокруг оси повлияла на выбор элементов площади, а зеркальная симметрия выражается в том, что плотности зарядов на основаниях цилиндра имеют противоположный знак ( и ), и в том, что функция — нечетная.

Мы получили интегральное уравнение на и . Я не смог решить его в явном виде. Можно было бы рассмотреть предельный режим, когда , и поискать приближенное решение в области . Тогда вкладом двух последних интегралов можно пренебречь, а в первом интегрировать от минус бесконечности до бесконечности:

(3)

Здесь я опустил коэффициент пропорциональности, не влияющий на дальнейшие рассуждения. Это интегральное уравнение имеет вид свертки ядра и искомой функции. Такое уравнение можно решить, взяв преобразование Фурье от обеих частей:

Интегрирование по частям справа дает . Искомая функция ищется через обратное преобразование Фурье:

Дельта-функция просто возвращает подынтегральное выражение при . Интеграл в знаменателе можно выразить через модифицированную функцию Бесселя второго рода, и знаменатель стремится к 0 при . Получается, не существует «достаточно хорошей» функции , определенной на всей вещественной оси, удовлетворяющей приближенному уравнению. Мы сделали слишком сильное упрощение, перейдя от уравнения (2) к уравнению (3).

Пока оставим попытки решить интегральное уравнение и посмотрим, что нам предлагает математика, а именно раздел, изучающий уравнения математической физики.

Аналитические методы заводят в тупик

Наша задача на языке математики формулируется так. Вне цилиндра потенциал подчиняется уравнению Лапласа и стремится к нулю (как поле диполя) на бесконечности. На поверхности цилиндра потенциал фиксирован и описывается начальными условиями

Это формулировка задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Решение у этой задачи существует и оно единственно. Потенциал определяет электрическое поле вне цилиндра, а скачок нормальной составляющей электрического поля на границе цилиндра пропорционален искомой поверхностной плотности заряда.

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах с учетом цилиндрической симметрии задачи записывается так:

(4)

Стандартный метод решения таких уравнений — метод разделения переменных, он же метод Фурье. Искомая функция ищется в виде суммы (конечной, счетной или интеграла) произведений функций, в которых каждый сомножитель зависит только от своей переменной:

Мы хотим, чтобы (4) выполнялось не только для всей суммы целиком, но и для каждого элемента . Подставляем его в (4) и получаем:

После такой подстановки получилось представить равенство так, что левая его часть зависит только от координаты r, а правая — только от координаты x. Равенство возможно, только если никакой зависимости нет, то есть и правая, и левая часть равны некоторой константе . Дальше, в зависимости от вида граничных условий, выбирается одно из двух получившихся дифференциальных уравнений

и исследуется задача Штурма — Лиувилля: при каких с учетом граничных условий у этого дифференциального уравнения возможны решения. Наконец, для этих решается оставшееся дифференциальное уравнение и ответ обычно записывается в виде ряда по собственным функциям оператора Штурма — Лиувилля.

Проделать эту процедуру в нашем случае не представляется возможным. Дело в том, что первое уравнение нужно решать на области , когда , и на области в противоположном случае. Аналогично со вторым уравнением. Представить решение по всему пространству вне цилиндра в виде одного ряда по собственным функциям какой-либо задачи Штурма — Лиувилля не получается. Есть предложение разбить пространство на несколько частей (как минимум на 3, а то и на 5), решить задачу Дирихле в каждой из них, а затем сшивать эти решения вместе с производными, накладывая дополнительные условия на коэффициенты в рядах и выкидывая слагаемые, которые сшить нельзя. Я не стал заходить в эти дебри, тем более что ответ в виде непонятного ряда по функциям Бесселя вряд ли вызовет известное ощущение завершенности от решения задачи.

Численное решение

Возвращаемся к интегральному уравнению (2) из наивного подхода. Зададимся какими-нибудь конкретными значениями размеров. Пусть длина провода будет 10 сантиметров, а его диаметр — 1 миллиметр. В подходящих единицах измерения можно считать, что , , а коэффициент пропорциональности в уравнении (2) отсутствует. Таким образом, мы будем решать уравнение

Приближение к его решению можно искать не на всех функциях, а на определенном классе функций, например, на нескольких первых слагаемых разложения в степенной ряд. Отклонение получающейся функции от правой части будем оценивать как интеграл от квадрата разности, и будем подбирать параметры функций a, добиваясь минимума этого интеграла:

Как обычно, решение попробовал найти в Maple. У меня не получилось заставить его минимизировать такой интеграл, зависящий от набора параметров. Поэтому я оставлял только один параметр, заменяя остальные их текущими значениями, строил график по этому параметру и определял его текущее значение в минимуме. Фактически выполнял вручную итерации из метода координатного спуска для функции такого типа:

f := a -> int((
   int((11.485*s + 0.584*s^3 + 0.883*s^5 + 0.587*s^7 + 0.2*s^9 + 3.57*s^11)/
      sqrt(1 + 10000*(x - s)^2), s = -1 .. 1, numeric) +
   int((5.01 + 5.46*10^2*r + 5.71*10^5*r^2 + 3.62*10^6*r^3 + 42.35*10^8*r^4 + a*r^5)*
      r*(1/sqrt(r^2 + (1 - x)^2) - 1/sqrt(r^2 + (x + 1)^2)), r = 0 .. 0.01, numeric)
- x)^2, x = -1 .. 1, numeric)

Здесь все интегралы отмечены как «numeric», чтобы Maple не пытался вычислить их аналитически. В моем случае попытка аналитического вычисления существенно замедляла работу, так что я не мог дождаться результата. Потенциал на оси для моего приближения на глаз отличается от прямой только у краев:

График отклонения от прямой (интеграл от квадрата этой функции я минимизировал, здесь масштаб по осям разный):

Можно также нарисовать графики плотностей на основаниях и на боковой поверхности:

Перейдем теперь к исследованию этого решения по всему пространству. Чтобы найти потенциал в произвольной точке не на оси, нужно добавить интегрирование по углу, так как теперь расстояние от элемента поверхности до расчетной точки уже зависит от угла. Трехмерный график потенциала выглядит так:

Нарисуем сечения эквипотенциальных поверхностей:

Рассмотрим поближе край проводника:

На полученный потенциал можно наложить внешнее электрическое поле и проверить, какая будет поверхность нулевого потенциала. Для правильного решения она должна совпадать с цилиндрической поверхностью проводника. В нашем случае у его краев (от 0,7 до 1) наблюдаются заметные утолщения, наглядно показывающие степень полученного приближения:

Вывод

Мы пытались решить две близких задачи: одна об электрическом поле внутри и снаружи провода с током, вторая о разделении зарядов в проводнике во внешнем электрическом поле. Аналитические методы не привели к успеху. Пришлось искать приближенное численное решение в Maple и использовать встроенные инструменты визуализации решения.

Из этого мини-исследования на третьем курсе получилась бы хорошая курсовая работа. Преподаватели урматов и вычматов были бы довольны.

Ключевые слова: электродинамика, maple

Брахистохрона под землей

Роман Парпалак — Thu, 08 Dec 2022 21:41:00 GMT

Мотивация

В сборниках задач по физике часто встречается известная задача о продолжительности свободного падения тела сквозь прямой тоннель, проходящий через центр Земли и соединяющий диаметрально противоположные точки. Для решения нужно знать, что сила притяжения к центру Земли в таком тоннеле уменьшается линейно до нуля, и тело, упавшее в такой тоннель, будет совершать гармонические колебания. Время движения составляет половину периода и для модели однородной Земли равно 42 минуты. Более того, это время не меняется для любого прямого тоннеля, идущего по хорде (не проходящего через центр), если трением можно пренебречь.

Также в научно-популярных книгах и других источниках встречается красивая задача о брахистохроне — кривой скорейшего спуска. В ней требуется найти форму желоба, проложенного между двумя фиксированными точками A и B, чтобы время скатывания тела из A в B было наименьшим. В однородном гравитационном поле брахистохроной является дуга циклоиды.

Вполне естественным кажется желание скрестить эти две задачи и выяснить, какой формы нужно проложить тоннель под землей, чтобы в идеальной ситуации без трения между точками A и B на поверхности (скажем, между двумя городами) поезд проезжал за наименьшее время. Эта новая задача имеет аналитическое решение. Её ответом является гипоциклоида — кривая, которую описывают точки окружности радиуса , катящейся без проскальзывания внутри другой окружности радиуса . Вот как записывается параметрическое уравнение гипоциклоиды и выглядит ее чертеж:

Для наглядности анимируем чертеж:

Я задумался об этой задаче в старших классах или на первом курсе института, но тогда, разумеется, у меня не хватало знаний для решения в аналитическом виде. Я вернулся к задаче на четвертом курсе и смог довести вычисления до конца, не обращаясь к источникам, но и не без помощи Maple. Эти вычисления были одними из самых сложных среди всех задач с явным аналитическим ответом, которые я решал.

Физическая сторона задачи

Движение поезда по подземному тоннелю будем рассматривать в полярных координатах. Считаем потенциал внутри Земли осцилляторным: . Запишем закон сохранения энергии с учетом нулевой скорости поезда на поверхности:

(1)

где — радиус Земли, — круговая частота колебаний, соответствующая периоду в 84 минуты. Время движения через тоннель . Выражаем скорость из (1) и для времени движения поезда через тоннель получаем следующее выражение:

Здесь мы выразили элемент длины пути через полярные координаты. Таким образом, задача свелась к поиску функции с фиксированным значением на концах отрезка, для которой функционал

(2)

принимает наименьшее значение.

Математическая сторона задачи

Задача по минимизации интеграла (2) на множестве достаточно хороших с точки зрения физика функций (скажем, дифференцируемых сколько нужно раз) — типовая задача вариационного исчисления. Заметим, что подынтегральное выражение в (2) можно представить в виде функциональной зависимости от и ее производной:

(3)

Из курса дифференциальных уравнений известно, что экстремальные значения (2) нужно искать на решениях дифференциального уравнения Эйлера — Лагранжа:

Если вы вооружитесь бумагой и ручкой и попробуете подставить сюда (3), то быстро заметите сложность получившегося дифференциального уравнения со второй производной и нагромождением корней и осознаете тупиковость этого подхода. В системах компьютерной алгебры есть встроенные пакеты для решения вариационных задач. Вот пример для Maple, где вы видите трехэтажное дифференциальное уравнение:

Кроме того, Maple заботливо подсказывает, что у получившегося дифференциального уравнения есть первый интеграл. И тут вы вспоминаете, что на курсах теоретической механики и дифференциальных уравнений всё-таки рассказывают некоторые полезные вещи. В частности, у уравнений Эйлера — Лагранжа есть интегралы движения. В нашем случае интеграл движения имеет вид

Если вам проще воспринимать физику, а не математику, вы можете представить некоторую систему, описываемую функцией Лагранжа (3). Движение во «времени» от «момента» к будет происходить по такой траектории , на которой «действие» (2) примет экстремальное значение. Так как функция Лагранжа не зависит от «времени» , то у системы есть сохраняющаяся величина — «энергия». Первый интеграл выше как раз и дает величину этой «энергии».

Выполним дифференцирование:

Мы пришли к дифференциальному уравнению первого порядка , в котором разделяются переменные и получается следующий интеграл:

Его можно вычислить аналитически. Например, Maple выдает такой результат:

Чтобы доказать, что это выражение описывает гипоциклоиду, нужно взять её параметрическое уравнение и проделать достаточно громоздкие преобразования обратных тригонометрических функций, которые я не буду сейчас приводить.

В интернете опять кто-то неправ, или учимся избегать ошибок

Когда я занимался этой задачей, мне попадалась статья с нестандартными вычислениями: вместо полярных координат использовались декартовы. Тогда мне показалось, что автору очень повезло: уравнение гипоциклоиды в параметрической форме написано в таком виде, что параметр оказался пропорциональным физическому времени. При подготовке этой заметки я опять наткнулся на ту же статью. Сейчас эти нестандартные вычисления кажутся мне ошибочными.

Я предположил, что это чья-то студенческая работа с не очень высокими требованиями. Решил подробнее узнать об авторе, Аманде Максхэм, и нашел заметку в ее блоге как раз об этой статье. Она пишет, что эта статья выдается на первой странице в гугле по запросу «gravity train». Раз так, то тем более нужно разобраться, скрывается ли за нестандартными вычислениями какой-то хитрый прием, или это просто ошибка. Причем моя цель не в том, чтобы показать, что в интернете опять кто-то неправ, а в том, чтобы научиться отличать правильный способ рассуждения от неправильного.

Вот ключевой момент статьи, в котором делается попытка доказать, что гипоциклоида — искомое решение:

Вопросы начинаются с формулы (19), в которой пропущен дифференциал, и поэтому не совсем понятно, по какому параметру дальше берутся производные. Эти же производные сохраняются вплоть до (22), куда подставляются и из (24) и (25). Но параметр в (24) и (25) не может быть временем , так как он является аргументом тригонометрических функций и должен быть безразмерным. Получается, это некоторый параметр, задающий положение точки на траектории, но не являющийся временем.

(Попутно возникает мини-вопрос о том, откуда взялась разность вместо соответствующей суммы в правых частях (20) и (21), но эта опечатка в четырех местах не распространяется на дальнейшие рассуждения, и мы к ней придираться не будем.)

Еще возникает вопрос о степенях свободы. В уравнениях (19) и (22) неизвестные величины — . Таким образом, эти уравнения содержат лишнюю степень свободы по сравнению с неизвестными из нашего рассмотрения (и из предыдущего раздела работы Аманды). Эта избыточность мешает корректному применению формализма Лагранжа — Эйлера. Какие признаки этого мы видим?

(22) — не единственное возможное следствие из (20) и (21). Если поделить (20) на (21), получим, что , а это есть уравнение, описывающее не гипоциклоиду, а прямую траекторию. Почему это следствие из (20) и (21) менее правильное, чем (22)?
(22) с точностью до константы по форме совпадает с законом сохранения энергии, с которого начиналось решение. Действительно, выражение в левой части напоминает квадрат скорости, а в правой — разницу квадратичных потенциалов, то есть изменение потенциальной энергии. Присутствие константы объясняется тем, что производные в (22) берутся не по физическому времени , а по другому параметру , который в раз меньше: . Если бы связь нарушилась, то (22) противоречило бы закону сохранения энергии. Таким образом, (22) можно получить без применения лагранжева формализма, просто напрямую из закона сохранения энергии с помощью замены . Следовательно, (22) не может иметь большего физического содержания, чем закон сохранения энергии, и не несет информацию о траектории, минимизирующей время.
(24) и (25) формально являются решением (22), так как зануляют его при выполнении (26). Но они не являются единственным решением. Фактически, любое физически возможное движение из-за сохранения энергии будет удовлетворять уравнению (22). Важно лишь выбрать параметризацию этого движения так, чтобы физическое время было пропорционально параметру. Возьмем для примера движение по хорде , , где , подставим в (22) и при должном выборе константы (то есть при выборе правильного движения во времени вдоль хорды) получим тождество:

Таким образом, осцилляторное движение по тоннелю в виде прямой хорды также является решением (22). Но оно отнюдь не минимизирует функционал (19) для общего времени движения между двумя точками.

Я так и не смог понять, можно ли провести рассуждения в декартовых координатах с избыточной степенью свободы и получить правильный ответ. Понятно желание использовать декартовы координаты, а не полярные, так как в них уравнение гипоциклоиды выглядит проще. Но интуитивно кажется, что лишняя степень свободы, появившаяся в функционале времени и соответствующая выбору закона движения тела вдоль траектории, не дает при применении лагранжева формализма достаточных ограничений на траекторию.

Я оставил комментарий в блоге Аманды с вопросами. Но никакой реакции не последовало.

Напишите свой комментарий, если видите ошибку в моих рассуждениях, или если знаете, как сделать корректное рассмотрение в декартовых координатах.

Добавлено 13.10.2023: я нашел у себя в архиве файлов сохраненную в 2008 году статью о брахистохроне, и это не работа Аманды. Автор не указан, статья располагалась по этой ссылке. Ход решения в этих статьях одинаков, но видно, что написаны они по-разному, и, похоже, разными авторами. «Опечаток» в этой статье меньше, но иногда дифференциал под интегралом тоже пропадает. Разумеется, критика идеи решения относится в равной мере и к этой статье.

Ключевые слова: механика, геометрия, maple

Задача о взвешенном выборе и случайной величине: единственность решения

Роман Парпалак — Fri, 12 Jun 2020 21:12:00 GMT

В прошлый раз мы решали задачу о взвешенной сортировке и показали, что существует функция , такая что максимальное значение этой функции будет достигнуто на k-той паре с вероятностью, пропорциональной , где — значение случайной величины, равномерно распределенной на единичном отрезке .

Мы потребовали непрерывности и монотонности функции по , а также зафиксировали значения на концах отрезка: . В этих предположениях показали, что функция должна удовлетворять условию

(1)

для любых наборов значений . Мы нашли целый класс подходящих под это условие функций:

(2)

где — любая строго монотонная функция.

Теперь докажем, что других решений у этой задачи не существует.

Теорема о единственности. Пусть для каждого значения функция непрерывна и строго монотонна по на отрезке , принимает на концах отрезка фиксированные значения и удовлетворяет (1). Тогда найдется такая строго монотонная функция , для которой выполняется тождество (2).

Доказательство будет конструктивным: мы построим конкретный пример на основе вида функции .

Лемма 1. Обратная функция при каждом фиксированном значении аргумента непрерывна по параметру на всем допустимом множестве значений этого параметра .

Доказательство. Выберем и зафиксируем произвольное значение для применения формулы (1) во всём доказательстве.

Доказывать лемму будем методом от противного. Пусть найдется такое значение , для которого в некоторой точке функция не является непрерывной. Это значит, что

(3)

По условию теоремы функция — обратная к непрерывной монотонно возрастающей функции , принимающей на концах отрезка значения и , поэтому она непрерывна и монотонна по на отрезке и принимает значения и . Непрерывность по на концах отрезка (при ) константных функций очевидна.

Будем доказывать противоречие (1) и (3) для внутренней точки . Запишем для этой точки и параметра определение непрерывности обратной функции:

Выберем для даваемое этим определением значение . Оно зависит от уже зафиксированных и , но не от .

Предположим, что модуль в (3) раскрывается с «плюсом», то есть

Из монотонности и непрерывности на интервале :

Если модуль в (3) раскрывается с «минусом», то по аналогии на интервале :

Таким образом, разрыв по будет наблюдаться не только в одной точке , но и как минимум рядом с ней на некотором интервале длиной , причем величина этого разрыва составляет как минимум .

Так как функция непрерывна и монотонна на отрезке , она отображает открытые интервалы в открытые интервалы, и по правой или левой -окрестности точки можно найти правую или левую -окрестность точки , для каждого из которой (напомним, что значение выбрано произвольно и зафиксировано).

Это значит, что следующий интеграл от квадрата разности функций в соседних точках и ограничен снизу ненулевой величиной, не зависящей от и :

Теперь непосредственно вычислим интеграл, раскрыв скобки и воспользовавшись условием (1):

Оценка этого выражения снизу дает неравенство:

Но согласно отрицанию определения непрерывности (3) можно выбрать сколь угодно малым, при этом и зависят только от выбора и остаются фиксированными. Так же зафиксировано и . Так как , выбором также можно сделать левую часть неравенства сколь угодно малой при фиксированной правой. Противоречие.

Лемма 2. Для любых значений , , выполняется равенство

Доказательство. Введем в (1) новую переменную :

Разделим набор весов , , … на две группы количеством и , в каждой из которых веса совпадают и равны и соответственно. Тогда:

Последний интеграл можно интерпретировать как скалярное произведение функций и в пространстве с положительной в силу монотонности метрикой . По неравенству Коши — Буняковского скалярное произведение не превосходит произведения норм, и равенство достигается при коллинеарности сомножителей. Из последнего уравнения видно, что скалярное произведение совпадает с квадратом нормы каждого элемента (правая часть не зависит от и ). Поэтому в нашем случае имеет место равенство. Действительно, вычислим норму от квадрата разности функций:

Если предполагать противное — непрерывные функции не совпадают хотя бы в одной точке — интеграл от квадрата их разности не может быть нулевым. Противоречие.

Несмотря на присутствие в выражениях производной , дифференцируемость по в этом доказательстве не требуется. Замена переменной на была проведена для удобства и наглядности. Аналогичные рассуждения имеют место и без замены переменных.

Следствие 1. Для любых значений , , выполняется равенство

Доказательство. Представим положительное рациональное число как отношение натуральных чисел. В утверждении леммы 2 выполним замену и возведем обе части в степень :

Следствие 2. Для любых значений , , выполняется равенство

Доказательство. Рассмотрим выражение как функцию от . По следствию 1 в рациональных точках ее значение равно . По лемме 1 функция непрерывна по параметру. Поэтому ее значение в иррациональных точках также равно .

Доказательство теоремы. Из следствия 2 для любых выполняется равенство . Пусть . Тогда

где — строго монотонная функция.

Ключевые слова: теория вероятностей

Задача о взвешенном выборе и случайной величине

Роман Парпалак — Mon, 02 Mar 2020 20:28:00 GMT

Условие

Пусть заданы n положительных чисел , , … . Для каждого из них выберем значение случайной величины, равномерно распределенной на единичном интервале (0, 1). Существует ли функция , такая что максимальное значение этой функции достигается на k-той выбранной паре с вероятностью, пропорциональной ?

Мотивация

Задача возникла из следующей программистской проблемы. Пусть в базе данных есть таблица с колонкой весов w. Нужно выбрать из этой таблицы случайную строку с вероятностью, пропорциональной значению веса w.

Можно было бы провести одно испытание, выбрав значение случайной величины , и взять среди сумм , , , … первую, превосходящую . Но такой перебор сделать сложнее в синтаксисе SQL. Проще отсортировать таблицу по некоторой функции от веса и случайного числа:

SELECT * FROM table ORDER BY f(w, random()) DESC LIMIT 1

Какую функцию нужно применить к весу и случайному числу, чтобы значение этой функции на некоторой строке оказалось наибольшим с вероятностью, пропорциональной весу?

Идея с сортировкой выборки в SQL по случайному фактору не очень хороша на больших объемах выборки. Но тот же подход применим и при потоковой обработке данных, когда на вход алгоритму приходит заранее неизвестное количество элементов, и каждый элемент мы видим только один раз. Чтобы случайно отобрать любой элемент с одинаковой вероятностью, можно генерировать случайную величину и запоминать, на каком элементе достигает максимума. Для этого нужно хранить в памяти текущее максимальное значение и сам элемент на месте . Получается аналог алгоритма Reservoir sampling. Можно ли модифицировать этот алгоритм, отбирая элемент с максимальным значением не , а , так чтобы вероятность выбрать элемент на месте была пропорциональна его весу ?

Решение

Допустим, что функция существует. Пусть в первом выборе случайная величина приняла значение . Вычислим, с какой вероятностью значение будет наибольшим. Нам нужно взять меру множества значений , на котором выполняется система неравенств:

(1)

Предполагаем, что непрерывна и монотонно возрастает по . Тогда существует обратная функция . Чтобы упростить рассмотрение на границах, предположим, что принимает одинаковые значения на концах отрезка для всех значений параметра:

(2)

Тогда решением системы (1) будет множество

Меру этого множества нужно проинтегрировать по всем значениям , чтобы вычислить вероятность получения максимального значения в первом выборе. Эта вероятность нормирована на 1 и по условию пропорциональна . Выводим следующее ограничение на функцию для произвольных значений :

(3)

Воспользуемся некоторыми эвристическими соображениями, которые позволяют угадать вид нашей функции. В интеграле можно перейти к новой переменной . Тогда подынтегральное выражение есть произведение величин , а соответствующие веса в правой части входят только в виде суммы . Логично предположить, что обратная функция обладает показательным свойством по параметру:

(4)

Если обратная функция еще и непрерывна по этому параметру , она имеет следующий вид: , где — некоторая новая монотонно возрастающая непрерывная функция. Отсюда следует, что прямая функция .

Подставим полученный вид функций в интеграл из (3):

Таким образом, подстановка обращает уравнение (3) в тождество.

Вывод

Функция , а также ее композиция с любой монотонной функцией подходят для выбора из вариантов с заданными весами с помощью описанного в условии способа.

Обсудим единственность этого решения. Помимо естественного требования непрерывности и монотонности, мы наложили дополнительные ограничения (2) и (4). В этих предположениях решение единственно. В следующий раз мы рассмотрим вопрос единственности подробнее, а именно, появляются ли другие решения, если не требовать выполнения (2) и (4), а также можно ли вывести (2) и (4) непосредственно из условия или из более сильных ограничений на искомую функцию вроде дифференцируемости.

Литература

Сначала я решил задачу самостоятельно. Через некоторое время случайно нашел статью с исследованием этой задачи и ссылкой на самое раннее упоминание у Эфраимидиса и Спиракиса:

Ключевые слова: теория вероятностей

Хоккейная задача — 2

Роман Парпалак — Tue, 28 Mar 2017 20:50:00 GMT

Продолжим решать «хоккейную задачу». В прошлом посте мы рассмотрели вариант задачи с искусственной поддержкой постоянной скорости вращения кольца. Перейдем теперь к варианту, когда за счет трения замедляется не только поступательное движение, но и вращение.

Напомним, что динамика кольца описывается уравнениями

(1)

где — скорость поступательного движения, — скорость вращательного движения кольца.

Система уравнений (1) симметрична относительно замены на . Если в начальный момент , то по соображениям симметрии это соотношение будет сохраняться между скоростями вплоть до остановки. Другой случай, который мы рассмотрим — это . Противоположный случай будет вытекать из него простой заменой на из тех же соображений симметрии.

Вырожденный случай u = v

Оба уравнения системы принимают один и тот же вид

Скорости совместного движения падают линейно со временем, но в раз медленнее отдельного вращения или отдельного поступательного движения.

Случай u > v

К сожалению, интегралы в системе (1) сводятся к эллиптическим, что не оставляет надежды решить систему аналитически. Остается численное решение.

Прямая попытка решить уравнение в Maple проваливается. Определенные интегралы заменяются нагромождением эллиптических интегралов, приводить которое здесь нет смысла. При построении графика мы видим сообщение об ошибке

Warning, cannot evaluate the solution past the initial point, problem may be complex, initially singular or improperly set up

Чтобы упростить выражения, накладываем ограничение на каждый из интегралов.

sys_ode := {
    diff(u(t), t) = -`assuming`(
        [int(
            (u(t)-v(t)*sin(alpha))/sqrt(u(t)*u(t)+v(t)*v(t)-2*u(t)*v(t)*sin(alpha)),
            alpha = 0 .. 2*Pi
        )],
        [u(t) >= v(t) and v(t) >= 0, u(t) >= 0]
    )/(2*Pi),
    diff(v(t), t) = -`assuming`(
        [int(
            (v(t)-u(t)*sin(alpha))/sqrt(u(t)*u(t)+v(t)*v(t)-2*u(t)*v(t)*sin(alpha)),
            alpha = 0 .. 2*Pi
        )],
        [u(t) >= v(t) and v(t) >= 0, u(t) >= 0]
    )/(2*Pi), u(0) = 10, v(0) = 1
};

Ограничения устраняют сообщение об ошибке. Maple надолго задумывается, но выводит пустой график. Чтобы понять причину, выведем решение уравнения в какой-то точке.

p := dsolve(sys_ode, type = numeric):
p(1);

Накопление ошибки округления приводит к появлению ненулевой мнимой части в искомых функциях, из-за чего график пустой. Чтобы избежать появления мнимой части, возьмем в явном виде действительную часть правых частей уравнений:

sys_ode := {
    diff(u(t), t) = -Re(`assuming`(
        [int(
            (u(t)-v(t)*sin(alpha))/sqrt(u(t)*u(t)+v(t)*v(t)-2*u(t)*v(t)*sin(alpha)),
            alpha = 0 .. 2*Pi
        )],
        [u(t) >= v(t) and v(t) >= 0, u(t) >= 0]
    ))/(2*Pi),
    diff(v(t), t) = -Re(`assuming`(
        [Re(int(
            (v(t)-u(t)*sin(alpha))/sqrt(u(t)*u(t)+v(t)*v(t)-2*u(t)*v(t)*sin(alpha)),
            alpha = 0 .. 2*Pi
        )],
        [u(t) >= v(t) and v(t) >= 0, u(t) >= 0]
    ))/(2*Pi), u(0) = 10, v(0) = 1
};

Наконец, Maple, долго думая, всё же рисует график.

plots[odeplot](p, [
    [t, (10-t), color=gray],
    [t, sqrt(1-(1/10)*t), color=gray],
    [t, u(t), color = blue],
    [t, v(t), color = red]
], 0 .. 11);

При этом мы видим предупреждение о точке остановки вычислений, которая, очевидно, совпадает с моментом окончания движения:

Warning, cannot evaluate the solution further right of 10.155665, probably a singularity

Для численного решения мы выбрали начальную поступательную скорость 1 и скорость вращения 10. Без вращения кольцо перемещается в течение 1 единицы времени на расстояние 0,5. Наличие вращения привело к тому, что поступательное движение сохранялось более 10 единиц времени.

Линеаризованное решение при u >> v

График — синяя линия — практически совпадает с прямой. График — красная линия — напоминает параболу. Такое поведение предсказывается линеаризованным решением в пределе . Пренебрегая в первом уравнении системы (1) и раскладывая второе по степеням , получаем

(2)

Решением этой системы являются функции , . Их графики изображены серыми линиями.

Как видим из численного решения и графика, приближение верно описывает характер движения, пока и не становятся сравнимыми. Вот график для случая, когда одна скорость в два раза больше другой:

Здесь отличие от линеаризованного решения заметно практически сразу.

Путь до остановки: линеаризованное приближение

Пройденный кольцом путь дается площадью криволинейной трапеции под красной линией. В линеаризованном приближении криволинейная трапеция ограничена параболой и, как легко видеть, имеет площадь . Если бы кольцо не вращалось, оно прошло бы расстояние . Таким образом, чтобы увеличить проходимый путь в 5 раз, нужно закрутить кольцо с угловой скоростью

Напомним, что для прохождения кольцом того же пути при постоянном поддержании вращения его скорость должна быть в три раза меньше: .

Путь до остановки: численное решение

Теперь вычислим проходимый путь из первоначальных уравнений, без линеаризации.

Maple почему-то не нашел точку остановки («сингулярности») для начального значения 15/4 и некорректно продолжил решение. Приближенное положение этой точки находим подбором.

dsol2p := dsolve(sys_ode, type = numeric, output = listprocedure):
v := eval(v(t), dsol2p):
v(4.04);

v(4.05);

v(4.06);

int(v(t), t = 0 .. 4.05);

Последний результат Maple вычислял больше 10 минут. Как видим, для начального значения 15/4 погрешность линеаризованного приближения составляет 2%.

Вывод

Мы решили «хоккейную задачу» в исходной упрощенной формулировке и без упрощений в линеаризованном приближении. С помощью системы компьютерной алгебры Maple убедились, что для условия этой задачи линеаризованное приближение дает ошибку на несколько процентов.

Ключевые слова: механика, maple

Хоккейная задача

Роман Парпалак — Sun, 05 Feb 2017 08:58:00 GMT

В 2007 году на физтеховской олимпиаде по физике была такая задача:

Тонкое кольцо лежит на шероховатой горизонтальной поверхности. После толчка в направлении центра кольца оно перемещается на некоторое расстояние. Когда это кольцо раскрутили до некоторой угловой скорости (поддерживаемой постоянной за всё время движения), то при той же начальной скорости кольцо прошло в раз большее расстояние. Как было раскручено это кольцо? (попытайтесь в ответе найти нелинейную поправку). (В.С. Булыгин)

На примере этой задачи я хочу показать, как использовать системы компьютерной алгебры, в частности, Maple.

В условии поддержка постоянной угловой скорости вращения выглядит искусственно. Это требование упрощает задачу, чтобы ее можно было решить на олимпиаде. В этом посте рассмотрим такую формулировку, а в следующем — потерю через трение не только поступательной скорости, но и вращательной.

Физическая сторона задачи

Решение задачи разобрано на Элементах (там ее назвали «хоккейной задачей»). Физическая часть решения не требует выхода за рамки школьных знаний, на ней останавливаться не будем. А вот на математике остановимся подробнее. Начнем с системы уравнений, выведенной по ссылке выше:

(1)

Здесь — скорость поступательного движения, — скорость вращательного движения кольца.

Уравнения таковы, что соответствующим выбором единицы измерения времени мы можем избавиться от несущественного множителя , поэтому в рассуждениях ниже мы его опустим.

Предельный режим

В предположении уравнение на имеет простой предельный режим, когда . Тогда раскладывая подынтегральное выражение в ряд по с точностью до второго порядка малости и интегрируя, видим, что убывание скорости пропорционально самой скорости. При малых скоростях кольцо останавливается по экспоненте, как будто трение не сухое, а жидкостное.

Случай постоянной скорости вращения

По условию угловая скорость вращения поддерживается постоянной, а линейная скорость падает до 0. Логично предположить, что мы имеем дело с режимом . Пусть . Тогда

(2)

До остановки кольцо проходит расстояние

(3)

Подставим из (2) в (3):

(4)

Когда вращения нет, кольцо движется равнозамедленно и проходит расстояние . Вращающееся кольцо проходит в раз большее расстояние :

Подставим в (4) и поделим на :

(5)

Это уравнение дает нам соотношение между начальной скоростью вращения кольца и ростом проходимого до остановки расстояния .

Численное решение в Maple

Внутренний интеграл выражается через эллиптические интегралы. Однако Maple ничего не знает про знак и выдает слишком громоздкое выражение, содержащее фрагменты вроде , csgn(p-1). Подскажем очевидное ограничение на :

`assuming`([
    int(
        (p-sin(alpha))/(2*Pi*sqrt(p^2 + 1 - 2*p*sin(alpha))),
        alpha = 0 .. 2*Pi
    )
], [p > 0]):
factor(%);

После этого легко подобрать ответ с нужной точностью:

p0 := 0.78:
(int(
    p^2 * Pi / (
        (p-1) * EllipticK(2*sqrt(p)/(p+1)) +
        (p+1) * EllipticE(2*sqrt(p)/(p+1))
    ),
    p = 0 .. p0
)) / p0^2;

В начальный момент скорости поступательного движения и вращения были связаны соотношением .

Приближенный ответ можно получить не только численно, но и из разложения внутреннего интеграла в ряд

expand(series(`assuming`([int(...)], [p >= 0]), p = 0, 8));

Вычислим левую часть (5) при , последовательно уточняя разложение внутреннего интеграла:

Хотя начальное значение параметра нельзя назвать малым, линеаризация по этому параметру дает погрешность менее 3%. Для линейного приближения ответ составил бы . А учет кубической поправки уже дает погрешность меньше процента.

Ключевые слова: механика, maple

Скрытый импульс

Роман Парпалак — Sun, 20 Sep 2015 18:12:00 GMT

Недавно на гиктаймсе писали про невозможный двигатель на электромагнитной тяге. Для появления такой тяги физических оснований нет, обсуждать его мы не будем. А вот в комментариях завязалась интересная дискуссия о том, может ли замкнутая покоящаяся система изменить свой электромагнитный импульс и за счет отдачи прийти в состояние макроскопического движения. Краткий ответ — нет. Развернутый ответ — ниже.

Введение

Ранее мы рассматривали потоки электромагнитной энергии в постоянных электрических и магнитных полях. Эти потоки были замкнутыми. Однако можно составить такую систему неподвижных источников электрического и магнитного полей, в которой потоки энергии не замкнуты. Следовательно, такие системы обладают ненулевым суммарным электромагнитным импульсом.

Пример такой системы — тороидальный магнит внутри цилиндрического конденсатора. Покажем, что в ней запасается ненулевой электромагнитный импульс.

Внутри магнита электрическое поле направлено по радиальным линиям, магнитное — по концентрическим окружностям, а вектор Пойнтинга — вдоль оси конденсатора. Снаружи соленоида нет магнитного поля и потоков энергии. Поэтому суммарный электромагнитный импульс в такой системе направлен вдоль оси симметрии.

На первый взгляд ненулевой импульс у внешне покоящейся системы выглядит крайне странно и приводит к парадоксам. Например, при изменении тока через соленоид изменяется импульс электромагнитного поля. Система получает механический импульс отдачи и начинает перемещаться. После закачки энергии в сверхпроводящий соленоид замкнутая система без взаимодействия со внешними телами перемещается в произвольном направлении на произвольное расстояние?! Это более чем странно.

Из специальной теории относительности следует, что импульс замкнутой системы относительно центра масс равен нулю (теорема о центре масс). Следовательно, электромагнитный импульс компенсируется импульсом другой природы. Его называют «скрытым импульсом».

Впервые понятие скрытого импульса ввели Шокли и Джеймс в 1967 году. Сведения о скрытом импульсе в доступной форме систематизированы в статье «Hidden momentum, field momentum, and electromagnetic impulse» (David Babson, Stephen P. Reynolds, Robin Bjorkquist and David J. Griffiths).

Сначала докажем теорему о центре масс. Затем выведем величину скрытого импульса модельной системы, которая встречается у Шокли и Джеймса. Также объясним природу скрытого импульса в различных системах. В завершение рассмотрим основные ошибки критиков скрытого импульса.

Ниже мы употребляем понятия «импульс» и «поток энергии» как синонимы. В специальной теории относительности эти величины пропорциональны с коэффициентом , так как связаны с компонентами симметричного тензора энергии-импульса.

Теорема о центре масс

Докажем, что суммарный импульс замкнутой системы относительно ее центра масс равен нулю. Мы используем тензорные обозначения четырехмерных величин.

Координаты центра масс (точнее, центра энергии):

где плотность энергии определяется временной компонентой тензора энергии-импульса. Заметим, что у замкнутой системы полная энергия не зависит от времени (докажите это в качестве упражнения).

По условию теоремы координаты центра энергии не меняются со временем. Продифференцируем их по времени и приравняем к нулю:

Воспользуемся законом сохранения энергии и перепишем подынтегральное выражение:

Интеграл от первого слагаемого как от дивергенции приводится с помощью теоремы Гаусса к интегралу по бесконечно удаленной поверхности от нулевой (на бесконечности) функции. В итоге мы получили, что интеграл от плотности потока энергии с необходимостью нулевой. Таким образом, полный поток энергии относительно центра масс системы равен 0.

Cкрытый импульс в модельной системе

Рассмотрим виток с током в однородном электрическом поле. В такой системе тоже есть ненулевой момент импульса электромагнитного поля.

Чтобы выявить природу компенсирующего скрытого импульса, применим модель витка с током постоянного сечения S, в которой носители заряда движутся свободно, без сопротивления.

Пусть в точке A носители заряда имеют скорость . На участке AB за счет работы электрического поля их скорость растет до величины . Одновременно с этим снижается плотность носителей заряда, чтобы величина тока оставалась постоянной: . Далее носители движутся с постоянной скоростью до точки C, замедляются до к точке D и возвращаются на этой скорости в точку A.

В нерелятивистском случае, когда импульс одного носителя заряда есть , полный импульс носителей на участках BC и AD равен

Но если учесть релятивистские эффекты, когда ,

Разность кинетической энергии носителей на этих участках определяется работой электрического поля:

Таким образом,

где — магнитный момент витка с током.

Результат легко обобщается на случай произвольного точечного магнитного диполя в неоднородных электрических полях. Электрическое поле, перпендикулярное плоскости витка, не влияет на движение зарядов. Переходя от проекции электрического поля на плоскость витка к вектору, получаем

Можно показать, что электромагнитный импульс в системе из заряда q и диполя определяется формулой

где — электрическое поле заряда в точке, где находится диполь. Электромагнитный импульс полностью компенсируется скрытым импульсом. Мы не будем делать расчет конкретно для этой системы. Вместо этого покажем, что такая компенсация происходит всегда.

Скрытый импульс и импульс электромагнитного поля

В произвольном электростатическом поле с потенциалом выражение для скрытого импульса витка с током I приобретает вид

Если задана объемная плотность тока , то

Подставим в последнюю формулу уравнение Максвелла для стационарных полей :

Первое слагаемое — интеграл по бесконечно удаленной поверхности — для замкнутых ограниченных в пространстве систем равен 0. Таким образом, мы получили, что ненулевой полный электромагнитный импульс системы всегда компенсируется скрытым импульсом. Полный импульс покоящейся стационарной системы — нулевой.

Природа скрытого импульса

Скрытый импульс связан с механическим движением носителей зарядов. Масса носителей фигурировала в выводе, но сократилась в итоговом ответе.

Скрытый импульс имеет релятивистский характер. Если бы не поправки специальной теории относительности, скрытый импульс был бы нулевым.

Природа скрытого импульса зависит от самой системы. В рассмотренной выше модели скрытый импульс (и поток энергии) связан с ускорением зарядов. В модели тока заряженной несжимаемой жидкости скрытый поток энергии вызывается перепадом давления. Во вращающемся заряженном диэлектрике (например, в сфере) импульс и поток энергии запасен в движении участков с разным механическим напряжением.

Поток механической энергии в последнем случае аналогичен потоку энергии в ременной передаче. Нижняя половина ремня на рисунке справа перемещается от нагрузки к двигателю. Она натянута больше, чем верхняя. При этом поток механической энергии направлен к нагрузке.

В настоящих электромагнитах скрытого импульса нет

В примере из введения нельзя заменить тороидальный магнит на соленоид с током. Если намотать соленоид металлическим проводом, то ни скрытого импульса внутри него, ни электромагнитного импульса снаружи не будет.

Всё дело в экранировке внешнего электрического поля в металле. Перераспределение поверхностных зарядов приводит к тому, что поверхность идеального проводника становится эквипотенциальной, и интеграл от плотности скрытого импульса зануляется.

Также исчезает и электромагнитный импульс. Электрическое поле перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям, а вектор Пойнтинга направлен по касательным к ним. Потоки энергии текут вдоль эквипотенциальных поверхностей и вынуждены быть замкнутыми.

Ненулевое сопротивление настоящих металлов приводит к падению потенциала вдоль проводника и попаданию части потока энергии внутрь. Энергия исходит из источника тока и перемещается к проводнику, в котором переходит в тепло. Такая система уже нестационарна. В ней энергия перемещается от одной части к другой, и полный импульс отличен от нуля.

Чтобы в системе появился и электромагнитный, и скрытый импульс, вместо электромагнита надо взять неметаллический источник магнитного поля. Скрытый импульс будет запасен в молекулярных токах Ампера.

Критика скрытого импульса

Понятие скрытого импульса часто подвергается критике недостаточно компетентными авторами. Рассмотрим распространенные ошибки критиков на примере текста некоего Джеррольда Франклина.

В статье рассуждения начинаются не с вектора Пойнтигна, выражение для которого выводится из принципа наименьшего действия, а с применения третьего закона Ньютона к силе Лоренца. Начиная не с общих формул, а с частных, нельзя прийти к общим выводам.
Утверждается, что теорему о центре масс нельзя применить к электромагнитному полю, потому что взаимодействие с веществом нарушает равенство . Но правильно применять теорему к полной системе, включающей и электромагнитное поле, и вещество, а не к ее части.
Автор критикует модель витка с током, заявляя, что в ней появятся поверхностные заряды, компенсирующие внешнее электрическое поле. Аргумент имеет смысл только для систем с точной компенсацией зарядов разного знака вроде металлических проводников. Его легко обойти, потребовав, чтобы все заряды в витке были одного знака.
Еще одна грубая ошибка присутствует в предложении, по которому перераспределение зарядов по поверхности металлического проводника не приводит к исчезновению электромагнитного импульса. Суммарный ненулевой электромагнитный импульс присутствует в системе с ненулевым суммарным потоком электромагнитной энергии. Он появляется в системе с источниками и стоками энергии . Внутри и снаружи идеального проводника , электрическое поле существенно искажается и суммарный электромагнитный поток энергии исчезает.
Неверный логический переход в следующем выводе: во вращающихся диэлектрических заряженных телах не может быть ускорения носителей зарядов и связанной релятивистской добавки, и поэтому в ней нет скрытого импульса. На самом деле скрытый импульс есть, он имеет другую природу и связан с механическим напряжением, как мы показали выше.

Автору не удалось показать ни неприменимость теоремы о центре масс, ни отсутствие необходимости во введении понятия скрытого импульса, ни отсутствие самого скрытого импульса.

Ключевые слова: электродинамика