• A. Liénard, “Champ électrique et magnétique produit par une charge électrique concentrée en un point et animée d'un mouvement quelconque”. L'Eclairage Electrique 16 (1898) 5-14, 53-59, 106-112.

 La ecuación (12) del paper de Liénard es el potencial escalar producido por la carga, y su ec. (13) es la componente $x$ del potencial vectorial. Ambas ecuaciones corresponden entonces a nuestros potenciales en la ec. (4.53) del apunte. Note además que Liénard usa el gauge de Lorenz que expresa en su ec. (11). ¿puedes identificar sus otras ecuaciones?.

• E. Wiechert, “Elektrodynamische Elementargesetze”, Arch. néerl. 5 (1900) 549-573.

 Note que Wiechert también trabaja con potenciales que satisfacen el gauge de Lorenz, ver su ec. (9) (página 553). El potencial escalar de la carga puntual está en su ec. (25) (página 564), y el potencial vectorial en su ec. (26) (página 565).

 La primera referencia conocida al PEF es en el artículo:

• A. Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen, Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik 4 (1907) 411-492. El título traducido sería algo así como “Sobre el Principio de Relatividad y las consecuencias que de él se desprenden”.

 Casi al final de este trabajo (página 454) Einstein escribe “Wir… wollen … in folgenden die völlige physikalische Gleichwertigkeit von Gravitationsfeld und entsprechender Beschleunigung des Bezugssystems annehmen”, que se traduciría como “queremos asumir la completa equivalencia física de un campo gravitacional y la correspondiente aceleración del sistema de referencia”. Acto seguido (en el resto del paper) Einstein estudia las primeras consecuencias de este supuesto.

Aquí algunos videos y animaciones que ilustran los SRLI’s:

• Primero un avión cayendo en el campo gravitacional de la Tierra:

• Una versión del video del  Astronauta (Satoshi Furukawa) en la Estación Espacial, jugando baseball:

• Propagación de un rayo de luz en un SRI lejos de todo cuerpo masivo 

• Segunda animación, que muestra un SR en caida libre (el “ascensor”), y cómo la luz se mueve en línea recta con respecto a él (es decir, la situación es equivalente al caso sin gravedad en este SR). Además, se muestra cómo se mueve el rayo de luz c/r al SR “a una distancia fija de la Tierra”:

• El video de Veritasium:

• Desde la estación espacial Jeff Williams demuestra cómo se experimenta la aceleración debido a los propulsores de la estación (encendidos para corregir la órbita, produciendo un “reboost”). Salvo por el efecto de las muy pequeñas fuerzas debido a las ínfimas cantidades de oxígeno fuera de la nave (según relata Willimans), la estación está en caída libre (la estación define un SRLI, y los cuerpos libres de fuerzas no-gravitacionales se mueven con velocidad constante respecto a la nave). Por otro lado, durante el “reboost” (ignición y funcionamiento de los propulsores), la nave acelera respecto al SRLI original (ya no está en caída libre), y los cuerpos libres de fuerzas no-gravitacionales ahora aceleran respecto a la nave.

• A. Einstein, Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogene Folgerungen, Jahrbuch der Radioaktivitaet und Elektronik 4 (1907) 411-492.

  • En la ecuación (30a) de la página 457 de este paper se puede ver la expresión para la dilatación temporal gravitacional.

    Un segundo análisis fue publicado por Einstein en 1911 en el artículo:

• A. Einstein, Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes , Annalen der Physik 35 (1911) 898-908.
  • El título de este paper se traduciría como “Sobre la influencia de la gravedad en la propagación de la luz”. Aquí Einstein analiza la predicción del corrimiento gravitacional de frecuencias de emisiones atómicas (ver ecs. (2a) y posteriores) y estima que en el caso de las líneas de emisión provenientes del Sol este efecto provocaría una variación relativa de la frecuencia del orden de una millonésima (ver páginas 904-905). En este paper Einstein también presenta un primer cálculo para el ángulo de desvío de la luz en un campo gravitacional, todo esto basado en el principio de equivalencia. (ver página 908). El valor calculado de esta forma resulta ser la mitad del ángulo que la teoría de Relatividad General completa predice!

Las primeras verificaciones experimentales del corrimiento de frecuencias gravitacional fueron realizadas por Pound, Rebka y Snider en la década del 60, usando el efecto Mössbauer.

• R.V. Pound and G.A. Rebka, Apparent weight of photons, Phys. Rev. Lett. 4 (1960) 337-341.
• R.V. Pound and J.L. Snider, Effect of Gravity on nuclear resonance, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 539-540.
• R.V. Pound and J.L. Snider, Effect of Gravity on Gamma radiation, Phys. Rev. 140 (1965) B778.

Posteriormente, en la década del 70 se logró verificar el efecto en la luz proveniente del Sol:

• J.L. Snider, New measurement of the solar gravitational redshift, Phys. Rev. Lett. 28 (1972) 853.

Un artículo que revisa la historia de estos experimentos (relatado por uno de sus protagonistas directos) está disponible aquí:

• R.V. Pound, Weighing photons, Class. Quantum Grav. 17 2000) 2303-2311.

El artículo en español La torre donde la luz gravita relata el experimento de Pound y Rebka.

El efecto de dilatación temporal (de-sincronización de relojes a distintas alturas) fue verificado en 1972 por Hafele y Keating usando relojes atómicos volando en aviones alrededor de la Tierra:

• J.C. Hafele and R.E. Keating, Around-the-World Atomic Clocks: Predicted Relativistic Time Gains, Science 177 (1972) 166-168.
• J.C. Hafele and R.E. Keating, Around-the-World Atomic Clocks: Observed Relativistic Time Gains, Science 177 (1972) 168-170.

Hafele, Keating, una auxiliar de vuelo, y dos relojes atómicos. Ver artículo en wikipedia.

El actual “record” de la medición del efecto de redshift gravitacional producto de la diferencia de altura más pequeña ha sido reportado por C. W. Chou et al., quienes han logrado verificar la predicció  con diferencias de altura de $h \approx 33$ cm !, gracias al uso de relojes ópticos ($z\sim 10^{−17}$):

• C. W. Chou, D. B. Hume, T. Rosenband and D. J. Wineland, Optical Clocks and Relativity, Science 329 (2010) 1630.

• A. Einstein, Ist die trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?, Annalen der Physik 18 (1905) 639-641. (“¿es la inercia de un cuerpo dependiente de su contenido de energía?). Una traducción al inglés está disponible aquí: Does the Inertia of a Body Depend on its energy. En 1935 Einstein escribió una “versión elemental de la equivalencia entre masa y energía”:
• A. Einstein, Elementary derivation of the equivalence of mass and energy, Bulletin of the American Mathematical Society 37 (1935) 39-44.

Test modernos de esta relación pueden encontrarse en los siguientes papers:

• S. Rainville et al., A direct test of $E=mc^2$, Nature 438 (2005) 1096-1097. Aquí se verifica la famosa relación en procesos donde un núcleo atómico captura un neutrón y emita un rayo $\gamma$ ya que la diferencia de masa de los estados iniciales y finales, multiplicados por $c^2$ debería ser igual a la energía del rayo $\gamma$ emitido. Las mediciones confirman la relación masa-energía con un error máximo de 0.00004%!
• S. Dürr, et al., Ab Initio Determination of Light Hadron Masses, Science 322 (2008) 1224-1227. Aquí se presenta, por primera vez, un cálculo de las masas de los protones, neutrones, y otros hadrones livianos a partir de sus constituyentes, calculando a energía de cada sistema y usando $m=E/c^2$.

 El siguiente gráfico resume los resultados de múltiples experimentos modernos que determinan cotas máximas para las aceleraciones relativas de distintos cuerpos sometidos a la acción de la gravedad, junto con el año en que fueron realizados los experimentos. Esta figura fue extraída del artículo de S.G. Turyshev [1]:

Fig1: Límites a posibles violaciones del PED.

Además, distintos experimentos están siendo planificados y/o desarrollados con la intención de mejorar las cotas superiores de posibles violaciones del PED. La siguiente figura contiene algunas estimaciones de límites esperados de proyectos experimentales futuros (también de la ref. [1]):

Referencias

A continuación un par de papers sobre test experimentales del PED. Note que en [3] se reportó por primera vez la verificación del PED para neutrones. Más recientemente, se ha puesto a prueba el PED usando interferometría atómica [4] y, por primera vez, se ha realizado un experimento para saber si el estado de spín de un átomo afecta o no su caida libre [5].

• [1] S.G. Turyshev “Experimental Tests of General Relativity: Recent Progress and Future Directions”. Phys.Usp. 52 (2009) 1-27.
• [2] S.G. Turyshev, “Experimental Tests of General Relativity”, Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. 58 (2008) 207-248. Este es un artículo de revisión donde en particular se resumen los tests del PED.
• [3] L. Koester, “Verification of the equivalence of gravitational and inertial mass for the neutron”, Phys. Rev. D 14 (1976) 907.
• [4] Zhou et al., “Test of Equivalence Principle at $10^{-8}$ Level by a Dual-Species Double-Diffraction Raman Atom Interferometer”, Phys. Rev. Lett. 115 (2015) 013004.
• [5] Duan et al., “Test of the Universality of Free Fall with Atoms in Different Spin Orientations”, Phys. Rev. Lett. 117 (2016) 023001.
• [6] Touboul et al. “MICROSCOPE Mission: First Results of a Space Test of the Equivalence Principle”. Physical Review Letters. 119 (23). 231101. arXiv:1712.01176.

Videos/Links:

• El famoso video del astronauta del la misión Apollo 15, soltando un martillo y una pluma, en la luna. Original en sitio de la NASA, aquí:

• Una versión moderna del mismo experimento, realizado en una cámara de vacío (gentileza de BackStageScience).

• Otro video similar, aún más espectacular, por las dimensiones de la cámara de vacío.

• ZARM (Centro para tecnología espacial aplicada y microgravedad), en Bremen, Alemania. Aquí tienen una torre de aproximadamente 110 m, donde se hacen varios experimentos: entre otros de microgravedad y también tests del principio de equivalencia. Aquí un video sobre la torre y la diversión de tirar cosas dentro de ella.

• Experimento MICROSCOPE (Página oficial, Wikipedia). Experimento satelital para testear el PED, lanzado el año 2016, y decomisionado el 2018. Los resultados fueron publicados el año 2017 en la Ref. [6], reportando una cota superior para el parámetro de Eötvös de $10^{-15}$.

    \usepackage{qrcode}
    ...
    \qrcode[hyperlink, height=5cm]{gfrubi.github.io}

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc, angles, quotes}
\def\radius{1.2cm}
\begin{document}
  \begin{tikzpicture}[line cap=round, line join=round]
  %Coordenadas
  \coordinate (sol) at (1.5,3);
  \coordinate (Tierra) at ($(sol)+(120:\radius)$);
  \coordinate (sistema binario) at (7,3);
  %Órbita
  \draw (sol) circle (\radius);
  %Línea
  \draw[dashed] (Tierra) -- (sol) -- (sistema binario);
  %Cuerpos
  \draw[inner color = yellow, outer color = orange, draw = orange] (sol) circle (4pt);
  \draw[left color = green, right color = blue, draw=white] (Tierra) circle (2pt);
  \draw[inner color = orange, outer color = red, draw=red, rotate=90] (sistema binario) ellipse (3.5pt and 2pt);
  %Ángulo
  \pic[draw, "$\theta$", angle eccentricity=1.8, angle radius=0.3cm] {angle = sistema binario--sol--Tierra};
  %Nodos
  \node[shift={(0,-0.5)}] at (sol) {\small Sol};
  \node[shift={(-0.4,+0.25)}] at (Tierra) {\small Tierra};
  \node[shift={(0,-0.7)}, align=center] at (sistema binario) {Sistema binario};
\end{tikzpicture}
\end{document}

Puede encontrar muchos ejemplos de diagramas creados con Tikz (y el código correspondiente) en tikz.net.

• El paquete Beamer también permite crear posters para conferencias. Por ejemplo, aquí hay un ejemplo de un poster en formato horizontal (seleccionar “View Source”) para ver el código $\LaTeX$:

• Similarmente un ejemplo de poster en formato vertical está disponible :

• MusiXTeX: un paquete que permite escribir música en $\LaTeX$. Manual disponible aquí. Por ejemplo, el codigo siguiente:

  \begin{music}
    \parindent10mm
    \instrumentnumber{1} 
    \setname1{Piano} 
    \setstaffs1{2} 
    \generalmeter{\meterfrac44} 
    \startextract 
    \Notes\ibu0f0\qb0{cge}\tbu0\qb0g|\hl j\en
    \Notes\ibu0f0\qb0{cge}\tbu0\qb0g|\ql l\sk\ql n\en
    \bar
    \Notes\ibu0f0\qb0{dgf}|\qlp i\en
    \notes\tbu0\qb0g|\ibbl1j3\qb1j\tbl1\qb1k\en
    \Notes\ibu0f0\qb0{cge}\tbu0\qb0g|\hl j\en
    \zendextract 
  \end{music}
  

  genera el siguiente resultado:

• Puede explorar y descubrir otros paquetes en la página de CTAN

Los formatos de mapas de bits (.jpg, .gif, .png, .tif, .bmp, …) están diseñados para almacenar imágenes (típicamente fotografías) sin tomar en cuenta una posible estructura, ya que la información almacenada en el archivo corresponde a la de los colores, intensidad, etc. de cada uno de los puntos que constituyen la imagen. Por esto, estos formatos necesariamente requieren especificar una determinada resolución (el número de puntos, píxeles, que constituyen la imagen. Por ejemplo, 800×600 ó 1920×1080).

Por otro lado, los formatos de gráficos vectoriales (.svg, .odg, .ps, .eps, .pdf) están diseñados especialmente para almacenar la estructura del gráfico, en forma independiente de una resolución. Por esto, este tipo de formato gráfico es ideal para almacenar diagramas o esquemas, así como texto (usando fuentes tipográficas).

Entonces… lo que no hay que hacer es crear gráficos que correspondan a diagramas o esquemas usando software diseñado para editar gráficos de mapas de bits. También debe evitarse crear diagramas con programas diseñados para producir gráficos vectoriales, pero finalmente exportar el resultado en un formato de mapa de bits. En ambos casos, el resultado será un mapa de bits del diagrama. ¿Por qué es esto importante?. Porque el resultado no es óptimo debido a la pixelación y a la degradación de la imagen si además se usan formatos con compresión (.jpg, .png, .gif). Este tipo de problemas se evidencian fácilmente al ampliar (zoom) el resultado final.

Referencias:

• Gráficos de Mapas de Bits (Wikipedia).
• Gráficos Vectoriales (Wikipedia).

Recomendaciones a mis estudiantes (de Física, principalmente)

• Los ejercicios que harás en el curso no son exactamente del tipo que necesitarás resolver en tu carrera científica. Pero las habilidades que desarrolles las podrás usar en tu vida científica, especialmente en un mundo donde los temas particulares en los que terminarás trabajando son imposibles de precedir hoy. Súmale el hecho que cada vez más personas egresadas trabajan en áreas distintas a la de la “Física pura” en la academia. Analogía: formas parte de un equipo de fútbol. Tu entrenador te pide ejercitarte haciendo push-ups (“lagartijas”), aun cuando nunca tendrás que hacer ese movimiento durante un partido de fútbol. Pero los push-ups te ayudarán a ser más fuerte y rendir mejor en el juego. Los ejercicios de electrodinámica son los push-ups de tu entrenamiento: son importantes porque te harán más rápid@ y hábil para analizar situaciones físicas que involucran campos electromagnéticos.
• Probablemete quieres terminar el curso con un 7. Pero en el largo plazo, las notas que te sacas en cada curso no son tan importantes. Es mejor tener dificultades solucionando un ejercicio particular y obtener una nota no tan alta en una tarea, que sólo mirar el resultado en internet y copiarlo. Incluso cuando copias la respuesta para entender mejor el problema, y no porque quieres hacer trampa en la tarea, no estás viviendo la experiencia de resolver tú mism@ el problema. Es mejor hacer pocos push-ups bien hechos que completar muchos con una mala postura o forma.
• Habla con tu profe: Parece obvio, pero te sorprenderías de cuán poc@s estudiantes hacen esto. Ejemplo: estás trabajando en un problema y estás estancad@. Lo intentas varias veces, pero finalmente decides que necesitas ayuda. El internet está lleno de información relacionada; si buscas con palabras clave asociadas a tu problema seguro encontrarás una solución e incluso una buena explicación de cómo se hacía y por qué. Aún así no te recomiendo hacer esto, sino hablar con tu profe! ¿Por qué?. Pues porque cuando lo haces, él o ella sabrá lo que tú no estás entendiendo. Y lo que es mejor, la conversación puede darle luces de si la dificultad tiene su origen en la materia específica que estás estudiando, o en un concepto o habilidad previa (que no se entendió y/o desarrolló en un curso anterior, por ejemplo).
• Trabaja con otr@s estudiantes. Quizás sientes que en estos tiempos de pandemia es más difícil trabajar con otras personas, pero es importante intentarlo. El trabajar con otr@s es parte del proceso de aprendizaje. Si puedes, reúnete con compañer@s, aunque sea con una llamada online. No te limites a compartir material, crea comunidades. Comparte ideas. Trabaja en grupo. Explícale a tus pares lo que tú entiendes y viceversa. Tiene mucho de cierto eso de “la mejor forma de aprender es enseñar”.
• Usa el texto guía. La forma incorrecta de usar un texto guía es sólo consultarlo cuando tienes que resolver un problema, buscando la “fórmula” que tiene las variables que están involucradas en el problema que quieres resolver. En lugar de eso, usa el texto como una “pre-clase”. Léelo antes de la clase. No es necesario entender todo lo que ahí se dice, pero sí el conocer las ideas principales de lo que se discutirá en clases. Al leer el texto, anota/resalta las cosas que te parecen importantes, las cosas que no entendiste (y que podrás preguntar en la clase), y/o datos e ideas adicionales que te parezcan interesantes y te ayuden a entender la materia. Después de la clase, vuelve a leer el texto guía. Ahora debieses entender mejor todo. Puedes ahora intentar resolver los problemas propuestos que la mayoría de los libros del tema tienen al final de cada capítulo. Enfréntalos como si nadie más supiese la respuesta. Si logras resolverlo compara tu solución con la del libro y mira si tienes la misma respuesta. Si no logras resolverlo, vuelve a intentarlo hasta que sientas que no se te ocurre nada más para resolverlo. Si tienes el desarrollo completo del ejercicio, sólo mira el siguiente paso de la solución y no el proceso completo. Esto puede darte la pista que necesitas para seguir adelante. Independiente de lo que hagas, no leas la solución completa. Eso es equivalente a querer ponerse en forma mirando como otra gente hace ejercicio …
• No te atrases. Tod@s estamos ocupados en el semestre. Tomas varios ramos e intentas además tener una vida (buena suerte). Pero es muy importante que te tomes el tiempo para hacer todas las actividades que se describen arriba. Pero hagas lo que hagas, no permitas que se te acumule el contenido del curso sin avanzar. En Física y otras áreas, si tienes problemas entendiendo un punto al comienzo del curso, con seguridad te será más dificil entender lo que viene a continuación, porque requerirá lo aprendido con anterioridad.
• “Aprender puede ser divertido y estimulante, pero también puede ser difícil y confuso. Es normal estar confundid@ en el proceso. Es como hacer ejercicio: entre más sudas, más mejoras. Y la confusión es el sudor del aprendizaje”