如果有单调性，就一定可以二分。但是有二分的不一定非得有单调性。
二分的本质是边界，将区间分为两个，一边满足某条性质，另一边不满足某条性质。然后可以找到这两个区间的边界，找任意一个区间的边界都可以。
但是找红色边界和绿色边界略有区别：
红色边界：
细节：关于为什么mid = (l + r +1) / 2 ，因为C++中取整是下取整。
- 假设mid = (l + r ) / 2 ；如果是 l = r - 1;那么下取整后 mid = l ，会陷入死循环。
也可以找绿色边界：
- 这里找绿色边界就不需要，因为如果r = l + 1;那么下取整后 mid = l，而不会取到r，因此不会产生死循环。
基本思路
整数二分步骤
1.找一个区间[L，R]，使得答案一定在该区间中
2.找一个判断条件，使得该判断条件具有二段性，并且答案一定是该二段性的分界点。
3.分析终点M在该判断条件下是否成立，如果成立，考虑答案在哪个区间;如果不成立，考虑答案在哪个区间;
4.如果更新方式写的是R = Mid，则不用做任何处理;如果更新方式写的是L= Mid，则需要在计算Mid时加上1。
第一类：ans是红色区间的右端点
因此将[L, R] 分成 [L, M-1] [M, R]。
if M是红色的，说明ans仍然在[M, R]
else 说明ans必然在[L, M - 1]。
while(L < R)
{
M = (L + R + 1) / 2;
if M red : L = M;
else R = M - 1;
}第二类：ans是绿色区间的左端点。
因此将[L, R] 分成[L, M] [M + 1, R]
if M是绿色的，说明ans仍然在[L, M]
else 说明ans必然在[M + 1, R]。
while(L < R)
{
M = (L + R) / 2;
if M green : R = M;
else L = M + 1;
}注意区分M的取值，一般L = M时需要令 M = (L + R + 1) / 2 ，因为cpp是向下取整，因此如果还是M = (L + R) / 2 的话，如果此时 L = R - 1,那么此时计算M = L（下取整），又由L = M，可知陷入死循环。
R = M 时就没有此限制，当R = L - 1时，经过计算仍然下取整 M = L - 1，结束计算。
给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。
对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
输入格式
第一行包含整数 n 和 q，表示数组长度和询问个数。
第二行包含 n 个整数（均在 1∼10000 范围内），表示完整数组。
接下来 q 行，每行包含一个整数 k，表示一个询问元素。
输出格式
共 q 行，每行包含两个整数，表示所求元素的起始位置和终止位置。
如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。
数据范围
输入样例：
6 3
1 2 2 3 3 4
3
4
5
输出样例：
3 4
5 5
-1 -1
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100010;
int m ,n ;
int q[N];
int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 0; i < n ; i++)scanf("%d",&q[i]);
while( m --)
{
int x;
scanf("%d", &x);
int l = 0 , r = n - 1;
while( l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
// mid是否满足右侧性质，如果满足则r = mid，缩小范围。
if(q[mid] >= x) r = mid;
// 直到找到不满足的，让l = mid + 1，即小于x的数中最大的。
else l = mid + 1;
}
// 上面二分出来的是第一个满足大于等于x的数，如果没有x，则是大于x的数。即左边界
if(q[l] != x)cout << "-1 -1" <<endl;
// 对该数进行判断，如果不满足，则返回-1-1。
else
{
// 找到最后一个x的位置
cout << l << ' ';
int l = 0, r = n - 1;
// 查找右边界
while(l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1;
// 这里可以看到，判断的依据就是mid是否满足左侧的性质，满足则至少让l = mid。
if(q[mid] <= x) l = mid;
// 如果不满足说明越过了，这时将右边界缩小到原mid内。
else r = mid - 1;
}
cout << l << endl;
}
}
}浮点数二分思路同上，有个好处是不需要处理边界。
给定一个浮点数 n，求它的平方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
4
输出样例：
2.000000
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
double x;
cin >> x;
double l = 0, r = max(1,x);
while(r - l > 1e-8)
{
double mid = (l + r)/2;
if(mid * mid >= x)r = mid;
else l = mid ;
}
printf("%lf", l);
return 0;
}这里要强调的是精度问题：
while(r - l > 1e-8)误差过大会导致精度不足。
这里给出一些经验值：误差值一般比保留位数多2
| 保留位数 | 误差值 |
|---|---|
| 4 | 1e-6 |
| 5 | 1e-7 |
| 6 | 1e-8 |
当然可以采用其他写法：
for(int i = 0; i < 100 ; i++);
直接循环100次，相当于把整个区间的长度直接循环$2^{100}$.
此外，还需要注意，当 x < 1时，例如x = 0.01，则开根号x = 0.1,因此区间不能取[0,x]，建议取[0, max(1,x)]。
给定一个浮点数 n，求它的三次方根。
输入格式
共一行，包含一个浮点数 n。
输出格式
共一行，包含一个浮点数，表示问题的解。
注意，结果保留 6 位小数。
数据范围
−10000≤n≤10000
输入样例：
1000.00
输出样例：
10.000000
# include<iostream>
using namespace std;
int main(){
double x;
cin >> x;
double l = -10000, r = 10000;
while( r - l > 1e-8)
{
double mid = (r + l)/2;
if(mid * mid * mid >= x) r = mid;
else l = mid;
}
printf("%lf", l);
return 0;
}这里还是需要注意以下边界问题，区间还不能写为-x到x，因为对于绝对值小于1的数，其三次方根大于1，导致该区间内找不到对应的根。
给定一个非负整数 x ，计算并返回 x 的平方根，即实现 int sqrt(int x) 函数。
正数的平方根有两个，只输出其中的正数平方根。
如果平方根不是整数，输出只保留整数的部分，小数部分将被舍去。
示例 1:
输入: x = 4
输出: 2
示例 2:
输入: x = 8
输出: 2
解释: 8 的平方根是 2.82842...，由于小数部分将被舍去，所以返回 2
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int l = 0, r = x;
while(r >= l){
int mid = (r + l) >> 1;
if((long long)mid * mid <= x) l = mid + 1;
else r = mid - 1;
}
return l - 1;
}
};其中如果直接 l = mid，会导致死循环超时，这点很好理解，例如一个根是2.8，如果区间是 l = 2, r = 3。mid由于是整数，因此为2，此时mid小于2.8，如果这时还是l = mid，相当于l一直没动，因此会超时。但是如果l = mid + 1，这时l越界，终止，最后返回上一次的整数，即l - 1即可。
此外这道题还可以采用右边界的方法寻找平方根，本质上和上面是一个类似的过程。
class Solution {
public:
int mySqrt(int x) {
int l = 0, r = x;
while(r >= l){
int mid = (r + l) >> 1;
if((long long) mid * mid > x) r = mid - 1;
else l = mid + 1;
}
return r;
}
};//查找左边界 SearchLeft 简写SL
int SL(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r >> 1;
if (check(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
return l;
}
//查找右边界 SearchRight 简写SR
int SR(int l, int r)
{
while (l < r)
{
int mid = l + r + 1 >> 1; //需要+1 防止死循环
if (check(mid)) l = mid;
else r = mid - 1;
}
return r;
}