## 虚数
虚数$$i$$的由来是为了解决负数开根的算术问题，如果没有虚数，将没有现代数学。
```math
\displaystyle
i=\sqrt{-1}\\{}\\
i^2=-1\\{}\\
i^3=i^2\cdot i=-i\\{}\\
i^4=i^3\cdot i=-i\cdot i=1\\{}\\
i^{4n}=1\\{}\\
i^{4n+2}=-1\\{}\\
i^{4n+3}=-i\\{}\\
i^0=1
```
## 复数
复数是一个实数和一个虚数的和，含有实数部分$$a$$，虚数部分$$bi$$，一个复数可以表示为$$a+bi$$。一个没有实数部分的复数（$$a=0$$）相当于一个虚数。
```math
\displaystyle
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\\{}\\
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i\\{}\\
(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2\\{}\\
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\\{}\\
\frac{a+bi}{c+di}=\frac{a+bi}{c+di}\cdot\frac{c-di}{c-di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\left(\frac{bc-ad}{c^2+d^2}\right)i
```